Springen naar inhoud

Eigenvector berekenen


  • Log in om te kunnen reageren

#1

DRW89

    DRW89


  • >100 berichten
  • 175 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 31 januari 2011 - 20:33

Omdat ik het te veel werk vind om een matrix te maken in LaTeX heb ik een foto van mijn opgave gemaakt.

Tot hier kom ik met het berekenen van de eigenvector:
Geplaatste afbeelding


De "uitleg" die mij gegeven wordt is het volgende:
Geplaatste afbeelding

Kan iemand een zet in de goede richting geven?
Ik weet dus echt niet wat ze doen op die tweede foto, en hoe ik dus verder moet gaan.

[klaag]Ik vind het zeer scheef dat dit alle uitleg is die ik krijg. Dit is namelijk vak die je MOET halen wil je op stage kunnen het volgende school jaar. [/klaag]

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

HosteDenis

    HosteDenis


  • >250 berichten
  • 689 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 31 januari 2011 - 20:46

Je bent goed bezig. Je weet de eigenwaarde al (anders moet je een karakteristieke vergelijking opstellen), dus kun je het berekenen van de eigenvector direct herleiden tot het oplossen van een stelsel. Bij het vinden van een eigenvector van een 3x3 matrix waarvan de eigenwaarde al gekend is, is het probleem dus eigenlijk het oplossen van een stelsel van 3 vergelijkingen met 3 onbekenden. Dit is altijd mogelijk. De oplossing kan uniek zijn, of er kunnen oneindig veel oplossingen zijn. Dit laatste wordt bekomen als je stelsel minstens één vergelijking bevat die niet lineair onafhankelijk is met de andere.

Zij zoeken dus naar de oplossing met de matrix:

LaTeX

en daarvan zijn de laatste twee vergelijkingen onderling lineair afhankelijk. Één van die twee vergelijkingen bevat geen extra info en mag dus geschrapt worden. In jouw stelsel zijn alle vergelijkingen lineair onafhankelijk, dus zal je exact één unieke oplossing bekomen. Zij hebben lineaire afhankelijke vergelijkingen, dus zullen oneindig veel oplossingen bekomen, namelijk x1= {1,1,0} en x2= {2,2,0} en x3= ... met xk= {k,k,0} met k elke reëel getal.

Ik illustreer even. Zij zoeken dus naar de oplossing met de matrix:

LaTeX

Deze is rij equivalent met:

LaTeX

De laatste rij vertelt ons dus inderdaad niets, ze zegt enkel dat 0 = 0. We hadden deze dus kunnen weglaten.
Lossen we namelijk de volgende matrix op:

LaTeX

Dan bekomen we:

LaTeX

en dit geeft ons net hetzelfde resultaat. Je mag de rij enkel weglaten als deze lineair afhankelijk is met een andere rij. Lineaire afhankelijke rijen (of kolommen) bevatten geen extra informatie. Het is niet fout als je ze niet weglaat, maar het is meer rekenwerk aangezien je die rij ook uitrekent zonder dat ze informatie bevat.


Snap je?

Kan je nu verder?



Denis

Veranderd door HosteDenis, 31 januari 2011 - 20:57

"Her face shown like the sun that I strived to reach."

#3

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 31 januari 2011 - 21:17

De vraagtekens, zijn die nu duidelijk?

#4

DRW89

    DRW89


  • >100 berichten
  • 175 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 31 januari 2011 - 21:18

Hey Denis,

Ik heb je post gelezen maar ik kom alsnog niet echt verder. Ik volg je maar een klein beetje, bijvoorbeeld:

LaTeX

Ik snap dus niet hoe je hier aan komt.

#5

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 31 januari 2011 - 22:02

Zie je dat rij 2 en 3 links hetzelfde zijn? Wat levert aftrekken dan voor de derde rij?
De eerste rij links kan je delen door -5, daarna kan je de tweede rij daarmee 'vegen'.
Is dit voor jou wartaal of ...

#6

HosteDenis

    HosteDenis


  • >250 berichten
  • 689 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 31 januari 2011 - 23:28

Hey Denis,

Ik heb je post gelezen maar ik kom alsnog niet echt verder. Ik volg je maar een klein beetje, bijvoorbeeld:

LaTeX



Ik snap dus niet hoe je hier aan komt.


Wat ik hier doe is het berekenen van de (rij gereduceerde) echelon vorm. Dat is nodig om het stelsel op te lossen.

Ik ga het voortonen aan de hand van jouw oefening.

Jij moet dit stelsel oplossen:

LaTeX

of dus:

LaTeX

en dit is in matrixvorm:

LaTeX

Om dit op te lossen moeten we van deze matrix de echelon vorm (of rij gereduceerde echelon vorm berekenen). Als je niet weet dat dit is, raad ik aan dat je deze wikipedia pagina er eens op naleest. Een ander woord dat je misschien gezien hebt (ipv echelon vorm) is canonieke vorm of trapvorm.

Je kan die berekenen door Gauss-eliminatie. Ook daarover bestaat een wikipedia-pagina. Op het eerste zicht mag dat al wat ingewikkeld lijken, je wordt er beter in als je meer oefent. Ik doe het even stap voor stap. Ik wissel rij 1 en 2. Ik deel rij 1 door 3. Ik tel 4 keer rij 1 op bij rij 2 en -3 keer rij 1 op bij rij 3.

LaTeX

We kunnen nu nog verder rekenen, maar ik zie dat rij 2 en rij 3 lineair afhankelijk zijn. Ik kan dus 1 van de 2 schrappen. Ik ga het vanaf hier uitrekenen met schrappen en zonder schrappen, zodat je ziet dat ik hetzelfde resultaat bekom. Eerst zonder schrappen. Rij 1 vermeningvuldigen met -1. Rij 2 en 3 delen door 2. Rij 3 maal -1.

LaTeX

We gaan verder. -1 keer rij 2 optellen bij rij 3. Rij 2 optellen bij rij 1.

LaTeX

Je ziet nu duidelijk dat de laatste rij nutteloos is, en het nieuwe stelsel dat we bekomen is:

LaTeX

Er zijn weer oneindig veel oplossingen, dit omdat niet alle rijen lineair onafhankelijk waren. De oplossing is gelijk aan:
LaTeX


Ik bereken het nu ook nog eens, zoals beloofd, met schrappen. Ik kan dus 1 van de 2 schrappen onderste rijen schrappen. Ik schrap rij 3. Ik bekom de 2 x 4 matrix hieronder. Dan doe ik volgende bewerkingen. Rij 1 vermeningvuldigen met -1. Rij 2 delen door 2. Rij 2 optellen bij rij 1.

LaTeX

Het nieuwe stelsel dat we bekomen is:

LaTeX

Er zijn weer oneindig veel oplossingen, dit omdat niet alle rijen lineair onafhankelijk waren. De oplossing is gelijk aan:
LaTeX


Ik hoop dat je het nu snapt?

Hier is de parameter x3 nog vrij te kiezen in je oplossing, deze kan gelijk zijn aa 1, 2, 3, 0.5, 875, ... Er zijn dus oneindig veel oplossingen, maar alle oplossingen zijn evenwijdig met (een veelvoud van) de vector (1/2, 3/2, 0).

Indien je drie lineair onafhankelijke vergelijkingen hebt met 3 onbekenden, zal je één unieke uitkomst vinden.


Denis

Veranderd door HosteDenis, 31 januari 2011 - 23:38

"Her face shown like the sun that I strived to reach."

#7

DRW89

    DRW89


  • >100 berichten
  • 175 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 31 januari 2011 - 23:37

Wow, hier kan ik wat mee Denis!
Ik was al wat op het spoor van de Echelonvorm, maar ik begreep het niet helemaal.
Bedankt voor de zéér(!) uitgebreide reactie, ik kom hier, na wat oefening, zeker nog op terug in dit topic.

#8

HosteDenis

    HosteDenis


  • >250 berichten
  • 689 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 31 januari 2011 - 23:59

Wow, hier kan ik wat mee Denis!


Graag gedaan. Ik ben je wel iets vergeten te vertellen, ik zei dat stelsels altijd één unieke oplossing hebben, of oneindig veel oplossingen als ze een vrije parameter hebben. Er bestaat echter ook het geval dat er geen oplossing is, dat het stelsel vals is, namelijk als één van de vergelijkingen wordt dat 0x1 + 0x2 + 0x3 = 3 bvb. Er is niet veel kans dat je leraar je zo een stelsel geeft, dus ik liet het even achterwege, maar eigenlijk moet ik het ook vermelden, dus bij deze.

Bedankt voor de zéér(!) uitgebreide reactie, ik kom hier, na wat oefening, zeker nog op terug in dit topic.


Ik raad je 2 oefeningen aan die ik je ga geven. Op deze manier kan ik zien of je het snapt en je uitleg geven waar het eventueel foutloopt.

Wil je voor mij even de twee volgende stelsels via een matrix omzetten naar echelon-vorm uitrekenen?

Dit is het eerste stelsel:

LaTeX

en dit is het tweede:

LaTeX


Je mag gerust op papier rekenen en moet hier niet elke tussenstap opschrijven. Wij staan paraat voor vragen of controle-berekeningen.

Succes!


Denis

Veranderd door HosteDenis, 01 februari 2011 - 00:00

"Her face shown like the sun that I strived to reach."





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures