Springen naar inhoud

Oppervlakte : volume


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Makkiej

    Makkiej


  • >25 berichten
  • 37 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 01 februari 2011 - 18:11

Hoi iedereen,

Ik moet voor wiskunde met behulp van optimaliseren de minimale oppervlaktes berekenen van de volgende figuren: bol, piramide, prisma, balk, cilinder en kegel. Ik moet dan kijken welk figuur het voordeligst is om te gebruiken, dus zo min mogelijk oppervlakte heeft, bij een inhoud van 1L.
Ik kwam dan uit op een bol, is dit goed? En kan iemand mij uitleggen waarom een bol zoveel voordeliger is?

Groetjes

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

HosteDenis

    HosteDenis


  • >250 berichten
  • 689 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 01 februari 2011 - 18:20

Een bol is goed. Waarom? Dat kan je wiskundig berekenen.

Het volume van alle oppervlakken is 1 liter, ofwel 1 dm3 of 0,001 m3.

Voor de bol geldt dus dat LaTeX , en zo vind je r in meters. Met die r kan je dan de oppervlakte berekenen: LaTeX .

Nu heb je dus de oppervlakte van een bol met een inhoud van 1 liter.

Doe dit ook voor een piramide, een kegel, cilinder en balk en je weet welke de kleinste oppervlakte heeft voor eenzelfde inhoud. (Heb je gegevens over de kegel/piramide/prisma/cilinder?)

Algemeen geldt voor vlakke figuren dat hoe regelmatiger de figuur, hoe groter de oppervlakte. Een cirkel zal voor eenzelfde omtrek een groter oppervlak hebben dan een regelmatige zeshoek met dezelfde omtrek, die op zijn beurt weer een groter oppervlak zal hebben dan een vierkant met dezelfde omtrek, die op zijn beurt weer een groter oppervlak zal hebben dan een regelmatige driehoek met dezelfde omtrek.

Hetzelfde geldt voor volumes; een bol zal een kleiner oppervlak hebben voor eenzelfde volume dan een kubus dan een tetraëder.

Ik hoop dat dit helpt.


Denis
"Her face shown like the sun that I strived to reach."

#3

Makkiej

    Makkiej


  • >25 berichten
  • 37 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 01 februari 2011 - 18:56

Ik heb voor de bol een oppervlakte van 484 vierkante cm.
Verder heb ik geen gegevens, maar ik stel telkens zijden ''x'' en de hoogte ''h''.
Dan kan ik h in x uitdrukken, door middel van de inhoud.
De h die in x is uitgedrukt substitueer ik dan in de formule van de oppervlakte, en door middel van afgeleides bereken ik dan het minimum.

Zo kom ik voor alles uit, behalve de prisma. De prisma bestaat in dit geval uit zes ''taartpunten'', waarvan ik de basis van de driehoek ''x'' heb gesteld en de hoogte ''h''. Dus ik dacht: als ik nu ook de hoogte van de driehoek bereken, kan ik de oppervlakte van één driehoek berekenen en dan keer zes is de oppervlakte van het grondvlak. Maar ik kom niet op de hoogte van de driehoek, heb ik daar meer gegevens voor nodig?

Dus dat een bol het handigst is, komt doordat het het minst vlakke figuur is?

Groeten

#4

HosteDenis

    HosteDenis


  • >250 berichten
  • 689 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 01 februari 2011 - 21:36

[quote name='Makkiej' post='654257' date='1 February 2011, 18:56']Zo kom ik voor alles uit, behalve de prisma. De prisma bestaat in dit geval uit zes ''taartpunten'', waarvan ik de basis van de driehoek ''x'' heb gesteld en de hoogte ''h''. Dus ik dacht: als ik nu ook de hoogte van de driehoek bereken, kan ik de oppervlakte van één driehoek berekenen en dan keer zes is de oppervlakte van het grondvlak. Maar ik kom niet op de hoogte van de driehoek, heb ik daar meer gegevens voor nodig?[/quote]

Je wiskundig niveau staat verder dan ik uit je eerste post afleidde. Dan zul je inderdaad functies moeten herkennen in de opgave en deze afleiden om de minima te vinden. Door één van je parameters in functie van de ander te schrijven, herleid je het probleem tot één onbekende en kun je dus op die manier de minima vinden.

Bij de prisma lukt dat je niet. Als ik het goed begrijp, is je prisma een lichaam met als grondvlak een regelmatige zeshoek, en hoogte h. Klopt dit? Als dit zo is kan je ook al op voorhand zeggen dat de oppervlakte van dit lichaam, als het een liter moet bevatten, groter zal zijn dan die van de cilinder en die van de bol.

Hoe dan ook, het volume vind je door 6 maal het volume van één taartpunt te nemen. Dat is dan de hoogte h maal de oppervlakte van het grondvlak, een gelijkbenige driehoek met tophoek gelijk aan 360°/6 = 60°. 60°, dus de taartpunten hebben als grondvlak niet enkel een gelijkbenige driehoek, maar ook een gelijkzijdige driehoek.

Voor 1 taartpunt geldt: de oppervlakte van het grondvlak zal gelijk zijn aan Bericht bekijken
Dus dat een bol het handigst is, komt doordat het het minst vlakke figuur is?[/quote]


Ik zou het meer omschrijven als: het komt omdat alle punten van het lichaam die de inhoud opmaken het dichtst bij het middelpunt liggen, voor constante oppervlakte. Hetzelfde geldt voor optimale vlakke figuur, de figuur waarbij alle punten die de oppervlakte opmaken het dichtst bij het middelpunt licht (cirkel) voor constante omtrek. Dit is misschien wat verwarrend verwoord, dus besteed je er best niet teveel aandacht aan. ;)


Denis

Veranderd door HosteDenis, 01 februari 2011 - 21:50

"Her face shown like the sun that I strived to reach."

#5

Makkiej

    Makkiej


  • >25 berichten
  • 37 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 01 februari 2011 - 22:02

Oké, ik snap hem helemaal nu!
Ik had bijna hetzelfde als u, maar ik was vergeten nogmaals keer een half te doen voor de opp. van de driehoek.
Vandaar die gedeelt door vier, wat ik niet had gedaan.
Ontzettend bedank! ;)

Wacht, nee, als ik de complete oppervlakte in x opschrijf, krijg ik: (4000)/(xwortel(3)) + 1,5x^2wortel(3)
Als ik die dan in mijn Gr stop (om het even makkelijk te doen), krijg ik een minimum met een y-waarde van 454 vierkante cm.
En dat is minder dan dat ik heb voor de bol, dus dan heb ik toch iets fout gedaan?

Veranderd door Makkiej, 01 februari 2011 - 22:15


#6

HosteDenis

    HosteDenis


  • >250 berichten
  • 689 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 02 februari 2011 - 01:07

Ik heb voor de bol een oppervlakte van 484 vierkante cm.


Ik kom 0,048360 m2 = 483,60 cm2 uit, dus dat heb je goed.


Wacht, nee, als ik de complete oppervlakte in x opschrijf, krijg ik: (4000)/(xwortel(3)) + 1,5x^2wortel(3)
Als ik die dan in mijn Gr stop (om het even makkelijk te doen), krijg ik een minimum met een y-waarde van 454 vierkante cm.
En dat is minder dan dat ik heb voor de bol, dus dan heb ik toch iets fout gedaan?


Ik kom een andere functie voor de oppervlakte, en dus ook een andere uitkomst uit. Om je niet gewoon de functie en het antwoord te geven, kun je me even tonen hoe je aan die functie komt? Als je het stap voor stap uittypt kom je misschien wel je eigen fout tegen.

De oppervlakte zal normaal gezien inderdaad groter zijn dan de bol.


Denis

Veranderd door HosteDenis, 02 februari 2011 - 01:07

"Her face shown like the sun that I strived to reach."

#7

Makkiej

    Makkiej


  • >25 berichten
  • 37 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 02 februari 2011 - 20:28

De oppervlakte van één taartpunt = x * 0,5xwortel(3) * 0,5 (basis * hoogte * 0,5)
Dus de oppervlakte vann zes taartpunten = oppervlakte grondvlak = 1,5x^2wortel(3)

De inhoud van de prisma = 1,5x^2wortel(3) * hoogte = 1000 cm^3
Dus de hoogte = (1000)/(1,5x^2wortel(3))

De oppervlak van totale prisma = 2*grondoppervlak + 6*x*hoogte
Dat is: 3x^2wortel(3) + (6000x)/(1,5x^2wortel(3)) = 3x^2wortel(3) + (4000)/(xwortel(3))
In mn Gr --> minimum --> 571 cm^2

En dan klopt hij nu wel.....het zijn telkens die kleine foutjes die voor een totaal ander antwoord zorgen!

Nogmaals ontzettend bedankt!

#8

HosteDenis

    HosteDenis


  • >250 berichten
  • 689 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 02 februari 2011 - 22:55

In mn Gr --> minimum --> 571 cm^2

En dan klopt hij nu wel.....het zijn telkens die kleine foutjes die voor een totaal ander antwoord zorgen!

Nogmaals ontzettend bedankt!


Ik kom 572 cm2 uit, dus dat klopt inderdaad!

Mijn formule is dezelfde als de jouwe, alleen zijn de aantallen in mijn formule aangepast aan een uitkomst in meters. Buiten een factor 100*100 hebben we dus dezelfde oppervlakteformule. Als je alles omzet naar centimeters, let je er dan wel op dat je ALLES omzet naar centimeters? Doe je dan niet kom je een 10-voud van je uitkomst uit.
"Her face shown like the sun that I strived to reach."





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures