Springen naar inhoud

Limiet met 2 variabelen


  • Log in om te kunnen reageren

#1

flurrie

    flurrie


  • 0 - 25 berichten
  • 8 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 07 februari 2011 - 15:06

Beste allemaal,
Ik zit met een opgave van calculus 3 waar ik niet uitkom.
De vraag is:
kan [sin(x+y)]/(x+y) continu worden gemaakt door hem te definiŽren op (0,0)

Nu heb ik al meerdere dingen geprobeerd en de theorie uit mijn boek vaker doorgelezen maar ik kom er niet uit.
Ik denk dat ik epsilon/delta zal moeten gebruiken, maar deze stelling heb ik nooit echt begrepen.
Zou iemand mij uit kunnen leggen hoe je dit soort problemen aanpakt?
Ik hoef geen antwoord maar liever een uitleg over de aanpak van dit soort problemen. Ik heb het vermoeden dat ik dit soort problemen nog meer ga tegenkomen en ik kan er gewoon niet mijn vinger opleggen.

Alvast bedankt,
Fleur

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 07 februari 2011 - 17:09

Ik zou epsilon/delta toch proberen te vermijden. Voor α positief geldt:

LaTeX

Voor α negatief wisselen de ongelijkheden. Deel alles eens door sin(α), de ongelijkheden zijn dan hetzelfde voor alle α. Stel α = x+y; wat volgt uit de insluitstelling?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 08 februari 2011 - 11:46

kan [sin(x+y)]/(x+y) continu worden gemaakt door hem te definiŽren op (0,0)

Wat krijg je als je y=-x neemt? Wat zegt je dat?
Idem als je y=x kiest.

#4

flurrie

    flurrie


  • 0 - 25 berichten
  • 8 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 08 februari 2011 - 12:34

Ik weet dat het antwoordt 1 moet zijn.
Nu had ik dit bedacht. Als ik eerst x is 0 kies, dan krijg je sin(y)/y en bij een kleine hoek is sin(y)=y dus dat krijg je y/y en dat is 1.
Als ik dan vervolgens y=0 kies krijg ik x/x=0 dus ik denk dat het op die manier moet.

#5

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 08 februari 2011 - 12:36

Daarmee bewijs je nog niet dat de limiet 1 is; er zijn veel mee manieren om naar (0,0) te gaan dan enkel via de assen (dus x = 0 en y naar 0 of omgekeerd).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#6

flurrie

    flurrie


  • 0 - 25 berichten
  • 8 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 08 februari 2011 - 12:46

ok dat is waar, ik vind dit vooral heel moeilijk om voor me te zien.
Maar als ik bijvoorbeeld deel door sin(x+y) dan krijg ik dus 1/x+y maar wat dan?
Ik dacht dat het limiet naar 0,0 van x+y gewoon nul is.. Ik snap dat als x+y continu is dat dan 1/x+y dat ook moet zijn vanwege de regel dat wanneer 2 functies continu zijn de samenstelling van die twee dat ook is.
Als er maar 1 variabele zou staan dan zou ik het via l'hopital (ik weet niet precies meer de naam) kunnen doen, en gewoon differentiŽren, maar met 2 variabelen weet ik het niet.

#7

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 08 februari 2011 - 12:51

De regel van l'HŰpital zal inderdaad niet de bedoeling zijn. Met mijn eerdere suggestie, krijg je:

LaTeX

Of dus ook:

LaTeX

Zo is de te onderzoeken functie ingesloten tussen twee andere functies. Van die twee andere functies zou het gedrag in de buurt van (0,0) duidelijk moeten zijn, daar is 'geen probleem'.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#8

flurrie

    flurrie


  • 0 - 25 berichten
  • 8 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 08 februari 2011 - 16:04

Ik had net een college van Calculus 3 en ben toch maar eens naar de docent gestapt.
Je gebruikt uiteindelijk wel de regel van l'hopital.

Je stelt namelijk x+y=t, dus dan krijg je [sin(t)]/t en als je dan de afgeleide neemt dan krijg je dus cos(0)=1

#9

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6703 berichten
  • VIP

Geplaatst op 08 februari 2011 - 19:52

Zo is de te onderzoeken functie ingesloten tussen twee andere functies. Van die twee andere functies zou het gedrag in de buurt van (0,0) duidelijk moeten zijn, daar is 'geen probleem'.

Er is volgens mij wel een probleem. Als x+y = 0 dan kun je niet delen door LaTeX (dan deel je immers door nul).

#10

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 09 februari 2011 - 13:37

Ik had net een college van Calculus 3 en ben toch maar eens naar de docent gestapt.
Je gebruikt uiteindelijk wel de regel van l'hopital.

Je stelt namelijk x+y=t, dus dan krijg je [sin(t)]/t en als je dan de afgeleide neemt dan krijg je dus cos(0)=1

Ook voor de sin(t)/t, dus in ťťn variabele, kan je bovenstaande redenering gebruiken. Eigenlijk is l'HŰpital hiervoor gebruiken wat dubieus, want daarvoor heb je de afgeleide van de sinus nodig en die steunt net op deze limiet...

Van die twee andere functies zou het gedrag in de buurt van (0,0) duidelijk moeten zijn, daar is 'geen probleem'.

Er is volgens mij wel een probleem. Als x+y = 0 dan kun je niet delen door LaTeX (dan deel je immers door nul).

Ik had het over die andere twee functies, die zijn continu in (0,0). De ingesloten functie bestaat uiteraard niet in (0,0), net daarom zoeken we de limiet om na te gaan of de functie continu uit te breiden is in (0,0).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#11

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6703 berichten
  • VIP

Geplaatst op 09 februari 2011 - 14:50

Ik had het over die andere twee functies, die zijn continu in (0,0). De ingesloten functie bestaat uiteraard niet in (0,0),...

Het probleem is dat de 'ingesloten functie' niet bestaat op de gehele lijn y=-x, dus niet alleen in (0,0). De insluiting is daarom niet geldig op die lijn (je bent dan aan het delen door nul) en conclusies over de limiet van de andere functies over de lijn y=-x richting (0,0) zijn dan volgens mij ook fout.

Wat wel kan is dat je zegt dat je de functie continu gaat maken door de functie te definieren over de gehele lijn y=-x en dan moet je uiteraard stellen dat deze overal op die lijn 1 is.

#12

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 09 februari 2011 - 19:33

Je hebt gelijk dat de functie niet bestaat op de hele lijn y = -x, zo had ik je reactie eerst niet gelezen. Of dat 'erg' is voor de continuÔteit in (0,0) is een andere zaak, dat hangt af van de definitie. Afhankelijk van je definitie, hoeft een functie niet noodzakelijk op een hele omgeving van een punt te bestaan om er continu te zijn; je kan dan volstaan met f(0,0) = 1. En zelfs als je dat wel eist, volstaat het om de functie te definiŽren op eender welke open omgeving van (0,0), niet per se op de hele lijn y = -x.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures