Springen naar inhoud

Is een (geld)prijs te winnen met de beslising van de continuum-hypothese?


  • Log in om te kunnen reageren

#1

*_gast_Bartjes_*

  • Gast

Geplaatst op 12 februari 2011 - 21:09

De continuumhypothese (zie de Wiki) is op basis van de gebruikelijke axiomatische verzamelingenleer niet te beslissen.

Dat neemt niet weg dat het denkbaar is dat er een aanvullend intuÔtief plausibel axioma bestaat dat de kwestie beslist. Met intuÔtief plausibel bedoel ik hier net zo aannemelijk als de gebruikelijke axioma's van de verzamelingenleer (ZFC).

Omdat het wel aardig zou zijn financieel onafhankelijk te zijn (ik ben op het moment weer eens werkloos en ik word er ook niet jonger op), vroeg ik mij af of er met het oplossen van dit vraagstuk nog een centje te verdienen is. ;)

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Math-E-Mad-X

    Math-E-Mad-X


  • >1k berichten
  • 2382 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 12 februari 2011 - 22:16

geen idee, maar ik denk hoe dan ook dat de hoeveelheid geld die je er mee zou kunnen verdienen bij lange na niet opweegt tegen de complexiteit van dit probleem. Oftewel: er zijn veel simpeler manieren om geld te verdienen. ;)

Veranderd door Math-E-Mad-X, 12 februari 2011 - 22:17

while(true){ Thread.sleep(60*1000/180); bang_bassdrum(); }

#3

*_gast_Bartjes_*

  • Gast

Geplaatst op 12 februari 2011 - 22:40

Tips zijn welkom. (Maar liever via een PB - anders dwalen we hier te veel af.) ;)

Ik vind het sowieso leuk met zulke vraagstukken te stoeien, de oplossing zal van een plotselinge inval moeten komen. Van een geheel nieuw gezichtspunt dat tot het gezochte extra axioma leidt. Ik maak mij geen illusies dat ik de verzamelingstheoretici langs de weg van theorievorming en bewijsvoering zou kunnen overtreffen.

#4

317070

    317070


  • >5k berichten
  • 5567 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 13 februari 2011 - 00:24

Omdat het wel aardig zou zijn financieel onafhankelijk te zijn (ik ben op het moment weer eens werkloos en ik word er ook niet jonger op), vroeg ik mij af of er met het oplossen van dit vraagstuk nog een centje te verdienen is. ;)

In theorie niet, maar met dergelijke oplossingen ben je in de praktijk zeker van (mooie) onderzoeksbeurzen voor de rest van je leven ;) Niet dat ik denk dat het veel zin heeft, er zijn eenvoudigere manieren om aan je geld te komen.

Er zijn niet bijzonder veel grote problemen meer waarvoor veel geld geboden wordt. Ik ken enkel nog de Claymath problemen, a.k.a de milleniumproblemen.
What it all comes down to, is that I haven't got it all figured out just yet
And I've got one hand in my pocket and the other one is giving the peace sign
-Alanis Morisette-

#5

*_gast_Bartjes_*

  • Gast

Geplaatst op 13 februari 2011 - 14:12

In theorie niet, maar met dergelijke oplossingen ben je in de praktijk zeker van (mooie) onderzoeksbeurzen voor de rest van je leven ;)


Daar neem ik ook genoegen mee. ;)

Niet dat ik denk dat het veel zin heeft, er zijn eenvoudigere manieren om aan je geld te komen.


Dat zou dan een baan moeten zijn. Wat voor een 50-plusser met een cv als een gatenkaas niet makkelijk is.

Er zijn niet bijzonder veel grote problemen meer waarvoor veel geld geboden wordt. Ik ken enkel nog de Claymath problemen, a.k.a de milleniumproblemen.


Bij het continuumprobleem is het althans voorstelbaar door diep nadenken tot een nieuw axioma te komen dat de zaak beslist. De axioma's van ZFC zijn ook voor een relatieve amateur nog goed te begrijpen. Andere problemen waar een prijs mee kan worden gewonnen kunnen vrijwel zeker alleen met zeer geavanceerde wiskunde worden opgelost, als er al een oplossing is. Daar ligt mijn kracht niet, anders had ik mijn studie ook wel afgemaakt. Ik beweeg mij meer in het grensgebied van filosofie en exacte wetenschap.

#6

Math-E-Mad-X

    Math-E-Mad-X


  • >1k berichten
  • 2382 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 13 februari 2011 - 14:25

Bij het continuumprobleem is het althans voorstelbaar door diep nadenken tot een nieuw axioma te komen dat de zaak beslist. De axioma's van ZFC zijn ook voor een relatieve amateur nog goed te begrijpen. Andere problemen waar een prijs mee kan worden gewonnen kunnen vrijwel zeker alleen met zeer geavanceerde wiskunde worden opgelost, als er al een oplossing is. Daar ligt mijn kracht niet, anders had ik mijn studie ook wel afgemaakt. Ik beweeg mij meer in het grensgebied van filosofie en exacte wetenschap.

Bartjes, alleen met een axioma komen en dan beweren dat het probleem opgelost is, is natuurlijk lang niet voldoende. Je moet ook echt keihard bewijzen dat alles wat je beweert exact klopt, dat er geen inconsistenties zijn met andere stellingen of axioma's. Geloof me: ook voor een 50+'er is het veel gemakkelijker om een baan te vinden (of veel minder moeilijk) dan om een serieus geldbedrag te winnen met een wiskunde vraagstuk.

Heb je eigenlijk wel eens een echt wiskundeboek over verzamelingentheorie gelezen? Dus geen populair wetenschappelijk ding, maar eentje die door studenten gebruikt wordt.

Wat is je achtergrond eigenlijk? Hoe veel weet je van wiskunde, en hoe kom je aan je kennis?
while(true){ Thread.sleep(60*1000/180); bang_bassdrum(); }

#7

*_gast_Bartjes_*

  • Gast

Geplaatst op 13 februari 2011 - 15:32

Wat is je achtergrond eigenlijk? Hoe veel weet je van wiskunde, en hoe kom je aan je kennis?


Ik heb de LTS, de MTS en de HTS met succes afgerond. Op de universiteit (richting natuurkunde) ben ik gestrand, voornamelijk omdat het te snel ging en sommige begrippen niet precies genoeg gedefinieerd werden.

Een lineaire ruimte zou een verzameling zijn waarin een optelling en een scalaire vermenigvuldiging was gedefinieerd. Dat zat mij niet lekker omdat een verzameling geheel vastligt wanneer je weet welke elementen er wel of niet in zitten. Er is gegeven een zekere verzameling dan ook niet vast te stellen of er wel of niet een optelling en vermenigvuldiging in zijn gedefinieerd (behalve de elementen zit er in die verzameling immers niets). Mijn kritiek werd niet begrepen, pas later las ik boeken over (lineaire) algebra waarin de bewerkingen nog als aparte functies aan de verzameling moeten worden toegevoegd, en dat dit geheel dan de lineaire ruimte is. Als mij dat gelijk verteld was, had ik ook begrepen wat de bedoeling was. Hieruit zie je ook dat ik eigenlijk een grondslagen-man ben die het naadje van de kous wil weten, voordat hij verder kan.

Om kort te gaan: ik heb minstens zoveel kennis opgedaan door zelfstudie als door mijn opleiding. Die zelfstudie was er meestal op gericht moeilijke punten (zoals boven) uit te zoeken.

Ik denk dat ik wel in staat ben een deugdelijk wiskundig verhaal neer te zetten. Zie:

http://www.wetenscha...howtopic=109214

http://wetenschap.in...se-en-0999.html

http://www.wetenscha...howtopic=126524 (vanaf bericht #21)

Voor eventuele correcties hou ik mij aanbevolen.

Overigens zou een nieuw axioma dat volstrekt buiten de gangbare denkpatronen valt, maar niettemin zeer plausibel is, op zich al een wiskundige vondst van formaat zijn. Mocht het bewijs dat dit axioma consistent is met ZFC en dat de continuumhypothese erdoor beslist wordt voor mij te moeilijk zijn, dan kan ik het ook bij de presentatie van dat axioma laten. De professionele verzamelingstheoretici zullen - stel ik mij voor - dan vast wel willen weten hoe het daarmee gesteld is, en de zaak zelf verder uitwerken.

#8

Math-E-Mad-X

    Math-E-Mad-X


  • >1k berichten
  • 2382 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 13 februari 2011 - 17:43

Overigens zou een nieuw axioma dat volstrekt buiten de gangbare denkpatronen valt, maar niettemin zeer plausibel is, op zich al een wiskundige vondst van formaat zijn. Mocht het bewijs dat dit axioma consistent is met ZFC en dat de continuumhypothese erdoor beslist wordt voor mij te moeilijk zijn, dan kan ik het ook bij de presentatie van dat axioma laten. De professionele verzamelingstheoretici zullen - stel ik mij voor - dan vast wel willen weten hoe het daarmee gesteld is, en de zaak zelf verder uitwerken.

Tja, maar dan ga je al helemaal weinig geld aan het project overhouden, als je het geld moet gaan delen met een ander.

Bovendien moet je je bedenken dat het waarschijnlijk niet letterlijk een 'prijs' zal zijn die je eventueel zou winnen, maar eerder een beurs of iets dergelijks om verder onderzoek aan een universiteit te doen. En ik kan me niet voorstellen dat een universiteit zo'n beurs zou geven aan iemand die niet in staat is om zijn eigen idee volledig wiskundig uit te werken. Wat heeft de universiteit aan zo'n onderzoeker?

Dus, Bartjes, ik wil je graag aanmoedigen om hiermee verder te gaan hoor! ;) Maar beschouw het vooral als een hobby project, ik zou er als ik jou niet vanuit gaan dat je er iets aan over gaat houden. Hooguit misschien een eervolle vermelding in een artikel in een wiskundig tijdschrift ofzo.
while(true){ Thread.sleep(60*1000/180); bang_bassdrum(); }

#9

*_gast_Bartjes_*

  • Gast

Geplaatst op 13 februari 2011 - 18:05

Dus, Bartjes, ik wil je graag aanmoedigen om hiermee verder te gaan hoor! ;) Maar beschouw het vooral als een hobby project, ik zou er als ik jou niet vanuit gaan dat je er iets aan over gaat houden. Hooguit misschien een eervolle vermelding in een artikel in een wiskundig tijdschrift ofzo.


Het had een extra aansporing geweest als er wel een geldbedrag of aanstelling aan een onderzoeksinstituut aan verbonden was, maar ik vind het nadenken over zulke problemen en het uitzoekwerk dat er bij komt kijken op zich ook al interessant. Het brengt je op intellectuele paden waar je anders nooit van ze leven terecht zou zijn gekomen.

#10

janamdo

    janamdo


  • >250 berichten
  • 324 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 15 februari 2011 - 00:46

Het had een extra aansporing geweest als er wel een geldbedrag of aanstelling aan een onderzoeksinstituut aan verbonden was, maar ik vind het nadenken over zulke problemen en het uitzoekwerk dat er bij komt kijken op zich ook al interessant. Het brengt je op intellectuele paden waar je anders nooit van ze leven terecht zou zijn gekomen.

Je kunt ook nog bij de Riemann hypothese terecht om weer op een intellectueel pad terecht te komen..

#11

*_gast_Bartjes_*

  • Gast

Geplaatst op 15 februari 2011 - 01:06

Je kunt ook nog bij de Riemann hypothese terecht om weer op een intellectueel pad terecht te komen..


Weet ik, maar de kans dat een relatieve amateur als ik daar iets van terecht brengt is nihil. Een nieuw bruikbaar axioma voor de verzamelingenleer zou - in principe - nog kunnen. Hoewel ook de kans dat ik dat vind zeer klein is.

#12

*_gast_Bartjes_*

  • Gast

Geplaatst op 16 februari 2011 - 01:38

Tussen allerlei andere zaken door ben ik al wat aan het nadenken over het nieuwe axioma, en wat het zou moeten toevoegen.

Daarbij vroeg ik mij het volgende af:

Zou het zo kunnen zijn dat de onbeslisbaarheid van de continuumhypothese (en van andere transfiniete hypothesen) voortkomt uit het feit dat we met de axioma's en taal van ZFC niet alle specifieke verzamelingen uit het gehele verzamelingstheoretische universum kunnen aanduiden?

Hier wijst ook het feit op dat de continuumhypothese binnen L wel geldt:

http://en.wikipedia....ctible_universe

Zie ik dat goed?

Wellicht zou men voor de beschrijving van de hogere regionen van het verzamelingstheoretische universum extra axioma's en/of een uitgebreider transfiniet alfabet te hulp moeten roepen?

Maar eigenlijk is het probleem nog veel ernstiger! Immers: bewijzen en afleidingen worden op een vel papier geschreven. Maar het aantal manieren waarop men een xy-vlak met lijntjes kan beschrijven valt volstrekt in het niet bij het aantal verzamelingen in het verzamelingstheoretische universum! Dus hoeft het niet te verbazen dat we op die manier slechts een miniem deel van dit universum in onze greep krijgen.

Als deze gedachtegang ergens op slaat zou de oplossing moeten liggen in het uitwerken van een "superlogica" die gebruik maakt van de mogelijkheden van een "supervlak" dat vťťl meer punten bevat dan het gebruikelijk xy-vlak (waarop we onze grafieken voorstellen). Wellicht zal men voor het beschrijven van hogere regionen van het verzamelingstheoretische universum steeds grotere "supervlakken" met bijbehorende "superlogica's" nodig hebben.

Volgt u mij nog...

#13

317070

    317070


  • >5k berichten
  • 5567 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 16 februari 2011 - 17:45

Zou het zo kunnen zijn dat de onbeslisbaarheid van de continuumhypothese (en van andere transfiniete hypothesen) voortkomt uit het feit dat we met de axioma's en taal van ZFC niet alle specifieke verzamelingen uit het gehele verzamelingstheoretische universum kunnen aanduiden?

Dit lijkt me kort door de bocht. We kunnen bijvoorbeeld ook niet alle reŽle getallen specifiek aanduiden, toch zijn er voor zover ik weet nog geen onbeslisbare problemen gekend.

Maar eigenlijk is het probleem nog veel ernstiger! Immers: bewijzen en afleidingen worden op een vel papier geschreven. Maar het aantal manieren waarop men een xy-vlak met lijntjes kan beschrijven valt volstrekt in het niet bij het aantal verzamelingen in het verzamelingstheoretische universum! Dus hoeft het niet te verbazen dat we op die manier slechts een miniem deel van dit universum in onze greep krijgen.

Niet allemaal, sommige bewijzen bestaan ook uit een algoritme die in feite een bewijs construeert. Het bewijs zelf beslaat dan tot verschillende duizenden pagina's (maar is naar huidige normen steeds eindig). Overigens bestaan er wel degelijk stellingen die voor alle verzamelingen gelden. Het niet kunnen benoemen van iedere specifieke verzameling sluit niet uit dat je er greep op kan krijgen.


Als deze gedachtegang ergens op slaat zou de oplossing moeten liggen in het uitwerken van een "superlogica" die gebruik maakt van de mogelijkheden van een "supervlak" dat vťťl meer punten bevat dan het gebruikelijk xy-vlak (waarop we onze grafieken voorstellen). Wellicht zal men voor het beschrijven van hogere regionen van het verzamelingstheoretische universum steeds grotere "supervlakken" met bijbehorende "superlogica's" nodig hebben.

Volgt u mij nog...

Doet me hieraan denken: http://www.wetenscha...s...st&p=593907
Ik volg je dus nog ;) met veel aandacht zelfs.
What it all comes down to, is that I haven't got it all figured out just yet
And I've got one hand in my pocket and the other one is giving the peace sign
-Alanis Morisette-

#14

*_gast_Bartjes_*

  • Gast

Geplaatst op 16 februari 2011 - 21:23

Dit lijkt me kort door de bocht. We kunnen bijvoorbeeld ook niet alle reŽle getallen specifiek aanduiden, toch zijn er voor zover ik weet nog geen onbeslisbare problemen gekend.


De continuumhypothese? Er bestaat geen oneindige deelverzameling van de verzameling der reŽle getallen zodat deze verzameling niet gelijkmachtig is aan de verzameling der natuurlijke getallen en ook niet gelijkmachtig is aan de verzameling der reŽle getallen.

Niet allemaal, sommige bewijzen bestaan ook uit een algoritme die in feite een bewijs construeert. Het bewijs zelf beslaat dan tot verschillende duizenden pagina's (maar is naar huidige normen steeds eindig). Overigens bestaan er wel degelijk stellingen die voor alle verzamelingen gelden. Het niet kunnen benoemen van iedere specifieke verzameling sluit niet uit dat je er greep op kan krijgen.


De grap is dat je soms wil bewijzen of een zeer bepaald type verzameling al dan niet voorkomt in een grotere verzameling waarvan je al wel weet dat die bestaat. Het is toch duidelijk dat je mogelijkheden van bewijsvoering beknot worden wanneer je het hebt over zaken die zo oneindig talrijk zijn dat je symbolen en schrijfruimte te kort komt.

Om een triviaal voorbeeld te geven: wanneer je over oneindige zeeŽn van tijd en voorraden van potlood en papier zou beschikken zou je alle oneindige deelverzamelingen van de verzameling der reŽle getallen met het handje kunnen nalopen op de vraag of die verzameling gelijkmachtig is met de verzameling der natuurlijke getallen, of juist met de verzameling der reŽle getallen of met geen van beide. De uitkomst van al dit werk geeft dan de beslissing van de continuumhypothese. Het is dus - in principe - mogelijk de logica van de bewijsvoering en het aantal toegestane symbolen zodanig uit te breiden dat hypothesen die eerder onbeslisbaar waren beslisbaar worden. Het punt is natuurlijk hoe doe je dat netjes op een formeel onberispelijke wijze, en ook nog eens zo dat wij er als eindige stervelingen iets mee kunnen.

Doet me hieraan denken: http://www.wetenscha...s...st&p=593907
Ik volg je dus nog ;) met veel aandacht zelfs.


Zulke ideeŽn spoken al heel lang door mijn hoofd, het zou leuk zijn als daar ooit nog eens iets mee gedaan kan worden.

#15

Math-E-Mad-X

    Math-E-Mad-X


  • >1k berichten
  • 2382 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 17 februari 2011 - 11:29

Om een triviaal voorbeeld te geven: wanneer je over oneindige zeeŽn van tijd en voorraden van potlood en papier zou beschikken zou je alle oneindige deelverzamelingen van de verzameling der reŽle getallen met het handje kunnen nalopen op de vraag of die verzameling gelijkmachtig is met de verzameling der natuurlijke getallen, of juist met de verzameling der reŽle getallen of met geen van beide.

het probleem is dat dit oneindig lang gaat duren, met andere woorden het bewijs is nooit af, oftewel: je hebt gewoonweg geen bewijs. Een bewijs is eigenlijk per definitie iets wat je in een eindig aantal symbolen op kan schrijven.

De uitkomst van al dit werk geeft dan de beslissing van de continuumhypothese. Het is dus - in principe - mogelijk de logica van de bewijsvoering en het aantal toegestane symbolen zodanig uit te breiden dat hypothesen die eerder onbeslisbaar waren beslisbaar worden. Het punt is natuurlijk hoe doe je dat netjes op een formeel onberispelijke wijze, en ook nog eens zo dat wij er als eindige stervelingen iets mee kunnen.

Dit is in principe waar de onvolledigheidsstelling van GŲdel over gaat:
je kunt inderdaad nieuwe symbolen toevoegen zodat onbeslisbare stellingen beslisbaar worden. Maar doordat je nieuwe symbolen toevoegt kun je ook weer nieuwe stellingen formuleren. En GŲdel heeft bewezen dat je dan hoe dan ook nieuwe onbeslisbare stellingen creŽert. (die je op hun beurt ook weer beslisbaar kunt maken door nog meer symbolen toe te voegen etcetera etcetera)
while(true){ Thread.sleep(60*1000/180); bang_bassdrum(); }





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures