Parameterisatie

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer

Bericht 17-02-'11, 01:55

AronKamp

Gebruikersavatar
Berichten: 101

Parameterisatie

Hallo,

Ik ben bezig met een huiswerk opdracht;

Een wiel beweegt in positieve x-richting, het heeft straal R. Op het uiteinde zit een punt P(dus afstand R met de as), die op t=0 op de oorsprong ligt.

Geef de parameterisatie van punt P, tussen
\(O(0,0)\)
en
\(Q(\pi,0)\)
, in termen van de booglengte parameter s.

Je kan dan uitrekenen dat de parameters van punt p als functie van t het volgende geeft:
\(x(t)=R\times (t-\sin{t})\)
\(y(t)=R\times (1-\cos{t})\)
Ik kom hier niet helemaal uit ik heb wel een deel en dat komt er op neer dat de booglengte wordt gegeven door:
\(s(t)=R\times \sqrt{2}\times\int \sqrt{1+\cos{t}}\)
Maar ik heb werkelijk geen idee hoe ik nu verder moet op de parameterisatie te geven als functie van s.

Ik heb al een paar keer geprobeerd om het gewoon uit te schrijven maar dan komt er absoluut geen zinnig antwoord uit.

Ik mis dus echt een stapje, kan iemand me daarbij helpen?

PS. Geef aub niet helemaal het antwoord, het is een huiswerk opdracht, dus hulp is toegestaan maar overschrijven (een antwoord) niet.
Omhoog

Bericht 17-02-'11, 10:21

Safe

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Parameterisatie

Geef de parameterisatie van punt P, tussen
\(O(0,0)\)
en
\(Q(\pi,0)\)
, in termen van de booglengte parameter s.
Ik neem aan dat je hier het wiel bekijkt met t als hoek?

Als t=0 volgt P valt samen met de oorsprong, maar als t=pi bevindt P zich niet op de x-as, maar op z'n hoogste punt, dus Q klopt niet.
Omhoog

Bericht 17-02-'11, 13:54

AronKamp

Gebruikersavatar
Berichten: 101

Re: Parameterisatie

Mijn excuses het moet 2*pi zijn, het is inderdaad een wiel. Ik heb het verkeerd ingetypt!

het is dus
\(Q(2\pi,0)\)
Omhoog

Bericht 17-02-'11, 18:27

Safe

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Parameterisatie

AronKamp schreef:
\(x(t)=R\times (t-\sin{t})\)
\(y(t)=R\times (1-\cos{t})\)
Ik kom hier niet helemaal uit ik heb wel een deel en dat komt er op neer dat de booglengte wordt gegeven door:
\(s(t)=R\times \sqrt{2}\times\int \sqrt{1+\cos{t}}\)
Maar ik heb werkelijk geen idee hoe ik nu verder moet op de parameterisatie te geven als functie van s.
De par verg voor t zijn goed (zelf gevonden?).

Wat bedoel je nu met s(t) in de volgende verg? Wat is je gedachtegang?

Er is een heel eenvoudig verband tussen s en t, denk daarbij aan het wiel als je dat vrij laat draaien om z'n as. Wat is s bij een hoek t?
Omhoog

Bericht 17-02-'11, 19:30

AronKamp

Gebruikersavatar
Berichten: 101

Re: Parameterisatie

Sorry,

Ik zal het wat proberen te verduidelijken:

Ik heb de parameterisatie voor de locatie van P afgeleid en die klopt, dit weet ik zeker omdat er stond dat we deze moesten afleiden en dat het er uit moest komen. Om vervolgens de afgelegde weg te vinden heb ik het volgende gedaan:
\(X=R(t-\sin t)\)
\(Y=R(1-\cos t)\)
Hier uit volgt dat de totale snelheid van P wordt gegeven door:
\(V_p = \sqrt{(X')^2 + (Y')^2}\)
Geeft:
\(V_p = \sqrt{(R(1-\cos t))^2 + (R\sin t)^2}\)
Wat weer:
\(V_p = R \times \sqrt{2} \times \sqrt{1-\cos t}\)
De afgelegde weg is dan dus:
\(S_p = R \times \sqrt{2} \times \int \sqrt{1-\cos t} dt\)
Nu wordt er gevraagd om te de parameterisatie te geven van punt p als functie van de afgelegde booglengte
Omhoog

Bericht 17-02-'11, 19:45

kotje

Gebruikersavatar
Berichten: 3.330

Re: Parameterisatie

Berekening AronKamp goed maar hij berekent niet de snelheid maar de booglengte parameter s(t):
\(s(t)=R\times\sqrt(2)\times\int_0^t\sqrt{1-\cos(u)}du\)
t= en vervangen
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?
Omhoog

Bericht 17-02-'11, 20:13

AronKamp

Gebruikersavatar
Berichten: 101

Re: Parameterisatie

De vraag is nu alleen "Geef een parametrisatie van het gedeelte van de baan van P tussen O

en Q in termen van de booglengteparameter s."

Hier loop ik vast ik kan het integraal wel omschrijven naar:
\(s(t)=R\times \sqrt{2}\times 2 \times (\sqrt{\cos {t} + 1}-\sqrt{2})\)
Maar ik krijg het maar niet goed opgelost in termen van x & y. Kan iemand me opweg helpen?
Omhoog

Bericht 17-02-'11, 21:11

turnevies

Re: Parameterisatie

Ik zou nu precies t afzonderen, en het rechterlid(een bgcos) substitueren in dat stelsel parametervergelijkingen. pas wel op voor bestaansvoorwaarden ed.
Omhoog

Bericht 17-02-'11, 22:11

AronKamp

Gebruikersavatar
Berichten: 101

Re: Parameterisatie

Hierbij stuit ik op het volgende probleem, bouw ik namelijk alles om naar t krijg ik het volgende:
\(\frac{s^2}{8\times R^2}+\frac{s}{r}+1=\cos t\)
En hier komt altijd (bij s= positief) een onmogelijke waarde uit.(
\( \cos t > 1\)
)

Wat doe ik fout?
Omhoog

Bericht 17-02-'11, 22:37

Safe

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Parameterisatie

Hoe kom je aan de verg? Hoe kom je tot je conclusie?
Omhoog

Bericht 17-02-'11, 23:04

oktagon

Berichten: 4.502

Re: Parameterisatie

Waarom mag er niet van worden uitgegaan dat er een halve cirkelbeweging woprdt afgelegd en dat de vermeld pi (onder Q) niet correct zou zijn.

Het punt P ligt op het uiteinde? Van dat wiel? P bevindt zich altijd op een afstand R van de as,op welke positie dan ook.
Omhoog

Bericht 17-02-'11, 23:33

AronKamp

Gebruikersavatar
Berichten: 101

Re: Parameterisatie

\(s(t)=R\times \sqrt{2} \times 2 \times (\sqrt{\cos t +1}-\sqrt{2})\)
\(\frac{s}{R\times \sqrt{2} \times 2}+\sqrt{2}=\sqrt{\cos t +1}\)
\((\frac{s+4\times R}{R\times \sqrt{2} \times 2})^2 =\cos t +1\)
\(\frac{s^2+8\times R\times s+16\times R^2}{8\times R^2} =\cos t +1\)
\(\frac{s^2}{8\times R^2} + \frac{s}{R} + 1=\cos t +1\)
\(\frac{s^2}{8\times R^2} + \frac{s}{R}=\cos t\)
Sorry had denk ik ergens een foutje gemaakt (had de +1 achter de cosinus zomaar even weg gelaten, heel dom maar niet genoeg koffie gehad denk ik dan maar ;) ) maar ook dit kan bijna nooit uitkomen en kan dus ook niet kloppen. Ik doe hier iets grof fout alleen zie ik niet wat.

Het gaat hier dus om een wiel die met een snelheid beweegd, en die dus ook ronddraaid, de parameterisatie voor het punt klopt, maar bovenstaande klopt niet of in iedergeval maak ik ergens een erge fout.

Punt P ligt op het uiteinde van het wiel.
Omhoog

Bericht 18-02-'11, 11:08

Safe

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Parameterisatie

Ik ga nog even terug naar je opdracht:
Geef de parameterisatie van punt P, tussen
\(O(0,0)\)
Er is een heel eenvoudig verband tussen s en t, denk daarbij aan het wiel als je dat vrij laat draaien om z'n as. Wat is s bij een hoek t?
Er zitten ook nog fouten in je afleiding maar dat laat ik nu even zitten.

Heb je het antwoord op die nieuwe parametrisatie?
Omhoog

Bericht 19-02-'11, 18:56

AronKamp

Gebruikersavatar
Berichten: 101

Re: Parameterisatie

Helaas was het integraal een beetje moeilijk maar door de hulp van wolfraam alpha kwam ik op het volgende idee, laat me aub weten of er fouten in zitten:
\(\sqrt{2}\times \sqrt{1-\cos{t}} \Rightarrow t \geqq 0 \Rightarrow 2 | \sin {(\frac{t}{2})}| \)
\(s(0 \dashrightarrow \alpha ) = \int 2 | \sin {\frac{t}{2}}| dt \Rightarrow t > 0 \Rightarrow -4 \times \cos{(\frac{\alpha}{2})}+4\)
\(s= -4 \times \cos{(\frac{\alpha}{2})}+4 \Rightarrow t(s) =2 \times inv. \cos {(\frac{4-s}{4})}\)
Dit geeft dan voor de parameterisatie:
\(x(t)=R \times (t-\sin{t})\)
\(y(t)=R \times (1-\cos{t})\)
En dat ingevuld:
\(x(s)=R \times (2 \times inv. \cos{(\frac{4-s}{4})}-\sin{(2 \times inv. \cos{(\frac{4-s}{4})})})\)
\(y(s)=R \times (s- \frac {s^2}{8})\)
Volgens mij heb ik het zo gevonden, wel heel erg bedankt voor de hulp!
Omhoog

Bericht 19-02-'11, 22:50

Safe

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Parameterisatie

Is dit ook het antwoord wat je moest vinden?

Teken eens de kromme bij deze parametrisatie.
Omhoog
Reageer

Terug naar “Huiswerk en Practica”