- 1.png (14.28 KiB) 387 keer bekeken
Uitdagend limiet
-
- Berichten: 4.246
- Berichten: 24.578
Re: Uitdagend limiet
Uit de veronderstelling volgt dat voor elke e>0, vanaf een zekere N voor alle n>N geldt:
x(n+1)/x(n) < L+e
Veronderstel even L>0. Het is mogelijk e te kiezen zodat L+e < 1; noem L+e = p, dan:
x(n+1)/x(n) < p dus x(n+1) < p.x(n)
Hieruit x(n+2) < p².x(n) ... x(n+k) < pk.x(n)
En pk gaat naar 0 voor k naar oneindig.
x(n+1)/x(n) < L+e
Veronderstel even L>0. Het is mogelijk e te kiezen zodat L+e < 1; noem L+e = p, dan:
x(n+1)/x(n) < p dus x(n+1) < p.x(n)
Hieruit x(n+2) < p².x(n) ... x(n+k) < pk.x(n)
En pk gaat naar 0 voor k naar oneindig.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 4.246
Re: Uitdagend limiet
Mooi antwoord!
Voor 2:
Uit de veronderstelling volgt dat voor elke e>0, vanaf een zekere N voor alle n>N geldt:
L-e < x(n+1)/x(n) < L+e
Veronderstel even L>0. Er is een e danig dat L-e > 1 (immers |L|>1); noem L-e = q>1, dan:
x(n+1)/x(n) > q dus x(n+1) > q.x(n)
Hieruit volgt x(n+2) > q².x(n) ... x(n+k) > qk.x(n)
En pk gaat naar oneindig voor k naar oneindig omdat p>1.
Voor 2:
Uit de veronderstelling volgt dat voor elke e>0, vanaf een zekere N voor alle n>N geldt:
L-e < x(n+1)/x(n) < L+e
Veronderstel even L>0. Er is een e danig dat L-e > 1 (immers |L|>1); noem L-e = q>1, dan:
x(n+1)/x(n) > q dus x(n+1) > q.x(n)
Hieruit volgt x(n+2) > q².x(n) ... x(n+k) > qk.x(n)
En pk gaat naar oneindig voor k naar oneindig omdat p>1.
Quitters never win and winners never quit.
- Berichten: 24.578
Re: Uitdagend limiet
Een paar dingen vergeten aan te passen na de copy/paste (denk ik), maar het kan inderdaad analoog.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 4.246
Re: Uitdagend limiet
De laatste regel moet inderdaad q zijn en in de een-na-laatste regel moet de k tot de macht k zijn.
Quitters never win and winners never quit.
-
- Berichten: 4.246
Re: Uitdagend limiet
Voor 3:
Uit de veronderstelling volgt dat voor elke e>0, vanaf een zekere N voor alle n>N geldt (neem aan dat L=1):
1-e < x(n+1)/x(n) < 1+e,
dan geldt er zeker:
-(1+e) < x(n+1)/x(n) < 1+e
dan is er een e_2 danig dat
-e_2 < x(n+1)/x(n) < e_2 dus x(n) is convergent.
Uit de veronderstelling volgt dat voor elke e>0, vanaf een zekere N voor alle n>N geldt (neem aan dat L=1):
1-e < x(n+1)/x(n) < 1+e,
dan geldt er zeker:
-(1+e) < x(n+1)/x(n) < 1+e
dan is er een e_2 danig dat
-e_2 < x(n+1)/x(n) < e_2 dus x(n) is convergent.
Quitters never win and winners never quit.
- Berichten: 24.578
Re: Uitdagend limiet
Die e_2 is dan toch niet willekeurig klein te krijgen...? Ofwel begrijp ik niet helemaal wat je bedoelt.dirkwb schreef:-(1+e) < x(n+1)/x(n) < 1+e
dan is er een e_2 danig dat
-e_2 < x(n+1)/x(n) < e_2 dus x(n) is convergent.
Als |L| = 1, is er volgens mij geen besluit te trekken. Zo is x(n) = 1 convergent en x(n) = (-1)n divergent; maar in beide gevallen convergeert x(n+1)/x(n) naar L met |L| = 1.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 4.246
Re: Uitdagend limiet
Klopt e_2 is niet willekeurig klein te krijgen.
Quitters never win and winners never quit.