Springen naar inhoud

Lineaire onafhankelijkheid.


  • Log in om te kunnen reageren

#1

kakapipi

    kakapipi


  • 0 - 25 berichten
  • 24 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 02 maart 2011 - 15:35

Hallo,

Vraagje in verband met vectorruimten: stel (R,R[X]≤,+) vectorruimte van veeltermen met hoogstens graad 2.
{1+X, 1+X≤, X+X≤} is een deel van die ruimte. Bewijs nu dat dat een vrij deel is.

oplossing:
neem dus lineaire combinaties a1(1+X) + a2(1+X≤) + a3(X+X≤). nu moeten we aantonen dat a1=a2=a3=0.
Maar ik weet niet hoe dit aan te pakken. Moet er ook rekening gehouden worden met waarden van X ?

Bedankt

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24051 berichten
  • VIP

Geplaatst op 02 maart 2011 - 16:23

neem dus lineaire combinaties a1(1+X) + a2(1+X≤) + a3(X+X≤). nu moeten we aantonen dat a1=a2=a3=0.

Je moet aantonen dat "a1(1+X) + a2(1+X≤) + a3(X+X≤)=0" enkel kan indien a1=a2=a3=0.

Maar ik weet niet hoe dit aan te pakken. Moet er ook rekening gehouden worden met waarden van X ?

Dit moet gelden voor alle X, die laat je dus als variabele staan. Stel de lineaire combinatie gelijk aan 0 en groepeer per macht van X; elke coŽfficiŽnt moet dan 0 zijn. Los dat stelsel op.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

kakapipi

    kakapipi


  • 0 - 25 berichten
  • 24 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 02 maart 2011 - 21:45

Ja ok. Dan bekom ik (a2 + a3)X≤ + (a1 + a3)X + (a1+a2) = 0

Maar hoe weet je dan met zekerheid dat deze vgl enkel 0 kan zijn als de coŽfficiŽnten 0 zijn?

#4

tuure

    tuure


  • 0 - 25 berichten
  • 11 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 02 maart 2011 - 21:56

Je kan de vergelijking (a2 + a3)X≤ + (a1 + a3)X + (a1+a2) = 0 opdelen in drie vergelijkingen:
1) a2+a3 = 0 (want de coŽfficiŽnt van X≤ moet nul zijn)
2) a1+a3 = 0 (want de coŽfficiŽnt van X moet nul zijn)
3) a1+a2 = 0

Als je dit stelsel vergelijkingen oplost, dan zal je zien dat a1 = a2 = a3 = 0.

Veranderd door tuure, 02 maart 2011 - 21:56


#5

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24051 berichten
  • VIP

Geplaatst op 03 maart 2011 - 01:56

Aanvullend: dit stelsel bekom je omdat de gelijkheid (lineaire combinatie gelijk aan 0) niet voor een zekere X moet gelden, maar voor alle X.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#6

WernerP

    WernerP


  • >25 berichten
  • 42 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 19 maart 2011 - 00:48

Een mooi trucje om dit stelsel op te lossen is door alle vergelijkingen op te tellen. Dan krijg je 2a_1 + 2a_2 + 2a_3 =0 ofwel a_1 + a_2 + a_3 =0. De verlangde conclusie krijg je dan door elk van de drie vergelijkingen hiervan af te trekken.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures