Springen naar inhoud

[wiskunde] rijen


  • Log in om te kunnen reageren

#1

tiger31

    tiger31


  • 0 - 25 berichten
  • 4 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 21 september 2005 - 18:40

Iemand die kan helpen met deze 2 oefeningen?

- Bij een natuurlijk getal k tellen we de 2k-2 volgende natuurlijke getallen op. Bewijs dat de som een volkomen kwadraat is.

-Een natuurlijk getal bestaat uit k cijfers 1, gevolgd door k-1 cijfers 5 en eindigend op ťťn cijfer 6. Bewijs dat dit getal een volkomen kwadraat is. (Voorbeeld: 1111155556)

Bedankt,

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Wouter_Masselink

    Wouter_Masselink


  • >5k berichten
  • 8250 berichten
  • VIP

Geplaatst op 21 september 2005 - 19:39

k+2k-2=3k-2
stel k=3
3*3-2=7. 7 is geen volkomen kwadraat.
"Meep meep meep." Beaker

#3

ZVdP

    ZVdP


  • >1k berichten
  • 2097 berichten
  • VIP

Geplaatst op 21 september 2005 - 19:44

k+2k-2=3k-2
stel k=3
3*3-2=7. 7 is geen volkomen kwadraat.


k=3 is wel een volkomen kwadraat. Mits je de gegeven formule correct uitvoert.
Dan krijg je voor k=3: 3+4+5+6+7=25
De uitleg van de formule is misschien voor wat interpretatie vatbaar: het getal k wordt gevolgd door de opeenvolgende natuurlijke getallen van die k. Het aantal van die opeenvolgende getallen wordt aangegeven door 2k-2. Voor 3 geeft dat dus 4 opeenvolgende getallen
"Why must you speak when you have nothing to say?" -Hornblower
Conserve energy: Commute with a Hamiltonian

#4

JVV

    JVV


  • >100 berichten
  • 123 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 21 september 2005 - 20:38

Oplossing voor de eerste opgave;


De formule voor een dergelijke som, bijv; 5+6+7+...+12+13 is;

som = (n+m)(n-m+1)/2

met n het eindgetal, en m het begingetal



In de opgave is k het begingetal en (k+2k-2) het eindgetal. Wanneer je dit in de algemene formule invult dan krijg je;

(4k-2)(2k-1)/2

= (2k-1)(2k-1) = een kwadraat
"Simplicity does not come of itself but must be created."

#5

blaze

    blaze


  • >25 berichten
  • 31 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 21 september 2005 - 22:26

Tweede vraag:

het getal 111...1555...56 kan je schrijven als:

6 + 5*10^1 + 5*10^2 + ... + 5*10^(k-1) + 1*10^k + 1*10^(k+1) + ... + 1*10^(2k-1)

= 6 + 5*(10^1 + 10^2 + ... + 10^(k-1) ) + 1*(10^k + 10^(k+1) + ... + 10^(2k-1) )

nu gebruiken we de formule voor de som van de eerste n termen van een meetkundige rij:

= 6 + 5*(10*(1-10^(k-1))/-9) +10^k*(1-10^k)/-9

=(-54 + 50 - 50*10^(k-1) + 10^k - 10^(2k) )/ (-9)

=(-4 - 40 * 10^(k-1) - 10^2k)/(-9)

=(10^2k + 4*10^k + 4)/9

= (10^k+2)^2 /9

dit laatste is duidelijk een volkomen kwadraat: zowel teller als noemer zijn volkomen kwadraten, en de breuk zelf is een natuurlijk getal.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures