Springen naar inhoud

Afstand tussen kruisende lijnen


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Tempus

    Tempus


  • >250 berichten
  • 340 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 11 maart 2011 - 13:36

Gegeven zijn de lijnen g1=(2, 0, 1)t+(1, 1, 2) en g2=(1, 1, 1)t+(0, -1, 3). De vraag is nu om de korste afstand tussen deze lijnen te berekenen. Als hinten worden al gegeven dat je gebruik moet maken van het uitwendig product en van de q1-q2, waarbij q1 een punt op g1 is en q2 een punt op g2.

Het uitwendig product van de richtingsvectoren heb ik al berekend op (-1, -1, 2). Ik weet nu niet hoe ik verder moet. Ik heb al geprobeerd om met het inwendig product een bijbehorende waarde van t te berekenen, maar ik krijg voor
<q1-q2, q1>=0 en <q1-q2, q2>=0 niet dezelfde t's eruit. Kan iemand me verder helpen?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 11 maart 2011 - 14:31

En wat weet je nu van de vector (1,1,-2)?

Het bepalen van zo'n afstand is een standaardprocedure. Het antwoord op bovenstaande vraag is daarin essentieel.
Ken je die procedure?

#3

Tempus

    Tempus


  • >250 berichten
  • 340 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 11 maart 2011 - 14:46

Ik ben niet bekend met die procedure. Dit is de eerste keer dat ik een vraag maak met het uitwendig product.

De vector (1, 1, -2) = -(-1, -1, 2). Uit (-1, -1, 2) = (2, 0, 1) × (1, 1, 1) en de anti-commutativiteit van het uitwendig product volgt dus dat (1, 1, -2) = (1, 1, 1) × (2, 0, 1).

(-1, -1, 2) en (1, 1, -2) zijn dus de twee vectoren die loodrecht staan op de richtingsvectoren van de twee lijnen.

#4

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 11 maart 2011 - 15:29

Precies. Maar wat is het belang van deze vector? Als je dat (nu) niet weet, kijk dan naar onderstaande vragen met 'in je achterhoofd' deze vector.

Neem eens een bekend lichaam, de kubus ABCD EFGH met ribbe a. Maak de tekening.
Wat is de afstand van de kruisende lijnen AB en FG (zonder rekenwerk).
Iets moeilijker: AC en BF.
Nog moeilijker: AG en BD.

Let wel het gaat nu niet direct om de antwoorden maar wel hoe je naar de tekening kijkt.

Vraag: bepaal je het uitproduct uit het hoofd of met hulpmiddelen?

Veranderd door Safe, 11 maart 2011 - 15:32


#5

Tempus

    Tempus


  • >250 berichten
  • 340 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 11 maart 2011 - 16:47

De afstand tussen de kruisende lijnen is steeds een loodrecht lijnstuk. De lengte van die vector zal dus op de een of andere manier samenhangen met de lengte van het loodrechte lijnstuk.

Bij AB en FG is deze lengte a.
Bij AC en BF is deze lengte 0,5a√2.
Bij AG en BD is deze lengte 0.5a.

Het uitproduct bereken ik uit m'n hoofd m.b.v. van determinanten.

#6

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 11 maart 2011 - 17:26

De afstand tussen de kruisende lijnen is steeds een loodrecht lijnstuk. De lengte van die vector zal dus op de een of andere manier samenhangen met de lengte van het loodrechte lijnstuk.

Bij AB en FG is deze lengte a.
Bij AC en BF is deze lengte 0,5a√2.
Bij AG en BD is deze lengte 0.5a.

Het uitproduct bereken ik uit m'n hoofd m.b.v. van determinanten.


Bij AB en FG is deze lengte a. Goed
Bij AC en BF is deze lengte 0,5a√2. goed.
Bij AG en BD is deze lengte 0.5a. Fout

Heb je hieruit een werkwijze kunnen halen met die 'bewuste' vector?

#7

Tempus

    Tempus


  • >250 berichten
  • 340 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 11 maart 2011 - 21:32

Stel je hebt de lijnen a en b. Ik zoek dan eerst naar een lijn die evenwijdig loopt aan lijn b maar die in het vlak van lijn a ligt. Daarna teken ik de vector die loodrecht staat op beide lijnen. Vervolgens teken ik een vector evenwijdig aan die vector, zodanig dat deze nieuwe vector de lijnen a en b beide snijdt.

Nu ik deze methode nog eens goed toepas kom ik voor het derde geval op een lengte van 0.5a√2.

Veranderd door Tempus, 11 maart 2011 - 21:33


#8

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 11 maart 2011 - 22:05

Stel je hebt de lijnen a en b. Ik zoek dan eerst naar een lijn die evenwijdig loopt aan lijn b maar die in het vlak van lijn a ligt. Daarna teken ik de vector die loodrecht staat op beide lijnen. Vervolgens teken ik een vector evenwijdig aan die vector, zodanig dat deze nieuwe vector de lijnen a en b beide snijdt.

Dit is de werkwijze.
Maar, helaas, leidt dit nog niet tot de goede opl van de derde afstand.

Waarom staat BD loodrecht vlak ACGE? Dan dus loodrecht elke lijn in dat vlak, dus loodrecht AG.
Je zoekt een lijn loodrecht AG en BD. Dus ligt die lijn in het vlak ACGE. Die lijn kan je nu tekenen en de afstand berekenen.

Nu terug naar de opgave. De vector loodrecht beide lijnen hebben we. Bepaal nu een vlak door één van beide lijnen met deze normaalvector (nv). Waarom?

Veranderd door Safe, 11 maart 2011 - 22:06


#9

Tempus

    Tempus


  • >250 berichten
  • 340 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 12 maart 2011 - 01:45

Die derde was toch moeilijker dan ik eerst dacht. Driemaal scheepsrecht dan maar: is 0,25a√6 wel correct?

BD staat loodrecht op het vlak omdat BD en AC elkaar loodrecht snijden, dus staat BD ook loodrecht op het vlak waar AC in ligt.

Als je weet dat de normaalvector loodrecht staat op een lijn, dan weet je ook dat die normaalvector loodrecht staat op het vlak waar die lijn in ligt. Ik neem t=1 en krijg dan het punt (3, 1, 3) op g1. Gegeven is de normaalvector (1, 1, -2). De vergelijking van het vlak wordt dan x - 3 + y - 1 - 2z - 6 = 0. Dus x + y - 2z = 10.

#10

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 12 maart 2011 - 10:15

Die derde was toch moeilijker dan ik eerst dacht. Driemaal scheepsrecht dan maar: is 0,25a√6 wel correct?

Laat je berekening eens zien.

BD staat loodrecht op het vlak omdat BD en AC elkaar loodrecht snijden, dus staat BD ook loodrecht op het vlak waar AC in ligt.

Een lijn l staat loodrecht een vlak A, als l loodrecht twee snijdende lijnen in vlak A staat.
Nu heb je BD loodrecht AC en ook BD loodrecht ... ?

Als je weet dat de normaalvector loodrecht staat op een lijn, dan weet je ook dat die normaalvector loodrecht staat op het vlak waar die lijn in ligt. Ik neem t=1 en krijg dan het punt (3, 1, 3) op g1. Gegeven is de normaalvector (1, 1, -2). De vergelijking van het vlak wordt dan x - 3 + y - 1 - 2z - 6 = 0. Dus x + y - 2z = 10.

Waarom neem je t=1 als t=0 ook mogelijk is?
(x - 3) + (y - 1) - 2(z - 3) = 0, dus ... ?
Wat weet je van de andere lijn en dit vlak?
Wat was het doel ook al weer?

Veranderd door Safe, 12 maart 2011 - 10:23


#11

Tempus

    Tempus


  • >250 berichten
  • 340 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 12 maart 2011 - 14:46

Ik snap al wat er fout ging. Ik ging er vanuit dat ACGE een vierkant, maar ik vergat dat de diagonalen langer zijn dan de twee ribben.

Inmiddels heb ik al wel bijna de oplossing denk ik. Noem het punt op het midden van BD punt I. Vanuit I tekenen je dan een lijn zo dat deze lijn AG loodrecht snijdt. Noem dit snijpunt punt J. Dan is de afstand gelijk aan de lengte van IJ. Er geldt IJ = √(AI^2 - AJ^2). Nu weet ik dat AI^2 = (0,5a√2)^2 = 0,5a^2. Omdat beide driehoeken een hoek van negentig graden hebben en hoek CAG gemeen hebben, concludeer ik dat ΔAIJ ~ ΔACG. De bijbehorende verkleiningsfactor wordt dan AI / AG = 0,5a√2 / a√3 = 0,5√2 / √3. Dus AJ = 0,5√2 / √3 * AC = 0,5√2 / √3 * a√2 = a / √3. Dus is a / √3 het goede antwoord?

Een lijn l staat loodrecht een vlak A, als l loodrecht twee snijdende lijnen in vlak A staat.
Nu heb je BD loodrecht AC en ook BD loodrecht ... ?

BD staat ook loodrecht op II', dus op het vlak, dus op AG.

Waarom neem je t=1 als t=0 ook mogelijk is?
(x - 3) + (y - 1) - 2(z - 3) = 0, dus ... ?
Wat weet je van de andere lijn en dit vlak?
Wat was het doel ook al weer?

Eerlijk gezegd was t = 1 het eerste dat in me opkwam en heb ik verder niet aan t = 0 gedacht, was inderdaad wel een beetje makkelijker geweest.

De andere lijn staat ook loodrecht op de normaalvector, en de normaalvector staat loodrecht op het vlak. De afstand tussen de twee lijnen is dus de afstand tussen de andere lijn en het vlak.

#12

Tempus

    Tempus


  • >250 berichten
  • 340 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 12 maart 2011 - 16:53

Inmiddels heb ik al wel bijna de oplossing denk ik. Noem het punt op het midden van BD punt I. Vanuit I tekenen je dan een lijn zo dat deze lijn AG loodrecht snijdt. Noem dit snijpunt punt J. Dan is de afstand gelijk aan de lengte van IJ. Er geldt IJ = √(AI^2 - AJ^2). Nu weet ik dat AI^2 = (0,5a√2)^2 = 0,5a^2. Omdat beide driehoeken een hoek van negentig graden hebben en hoek CAG gemeen hebben, concludeer ik dat ΔAIJ ~ ΔACG. De bijbehorende verkleiningsfactor wordt dan AI / AG = 0,5a√2 / a√3 = 0,5√2 / √3. Dus AJ = 0,5√2 / √3 * AC = 0,5√2 / √3 * a√2 = a / √3. Dus is a / √3 het goede antwoord?

Oeps, vergeten dat ik dit antwoord alleen nog maar AJ is en niet IJ. Dit geeft dan IJ = √(0,5a^2 - 1/3a^2) =
√(1/6a^2) = 1/6a√6.

#13

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 12 maart 2011 - 21:58

Dit is goed. maar wat een omweg.
Je hebt de tekening. Drh AIJ is gelijkvormig met drh ACG.
Zegt je dit iets?

#14

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 12 maart 2011 - 22:24

BD staat ook loodrecht op II', dus op het vlak, dus op AG.

BD staat ook loodrecht op II', dus op het vlak, dus op AG.

Wat is II'?

Je hebt de verbetering van de verg van het vlak niet doorgevoerd ... ?
Wat kan je zeggen over de afstand van de punten, op de lijn evenwijdig het vlak, tot het vlak?
Dus wat moet je nog bepalen?

#15

Tempus

    Tempus


  • >250 berichten
  • 340 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 12 maart 2011 - 22:28

De driehoeken zijn gelijkvormig, dus geldt: IJ / CG = AI / AG, oftewel IJ = 0,5a√2 / a√3 * a = 0,5a√2 / √3 = 1/6a√6.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures