Springen naar inhoud

Oneindigheid priemgetallen


  • Log in om te kunnen reageren

#1

janamdo

    janamdo


  • >250 berichten
  • 324 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 12 maart 2011 - 00:48

Ik las dit bewijs, maar het kwartje valt niet..hetzelfde geldt voor het bewijs vanEuclides wat een indirect bewijs is
---------------------------------------------------------------
Stel n is een geheel getal groter dan 1. De getallen n en n + 1 verschillen slechts 1 en hebben dus geen gemeenschappelijke priemfactoren. Dat betekent dat het getal N2 = n(n + 1) ten minste twee verschillende priemfactoren heeft. Voor de getallen N2 en N2 + 1 geldt hetzelfde: zij verschillen slechts 1 en moeten dus ten minste twee verschillende priemfactoren hebben. Het getal N3 = N2( N2 + 1) = n(n + 1)[ n(n + 1) + 1] heeft dus minimaal drie verschillende priemfactoren.
Dit proces kan eindeloos worden voortgezet: het getal Nk heeft ten minste k priemfactoren. Omdat dit voor elk positief geheel getal k geldt, kan de rij priemgetallen nooit ophouden.

-------------------------------------------------------------------

Is er iemand op dit forum die dit begrijpt?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6703 berichten
  • VIP

Geplaatst op 12 maart 2011 - 09:44

Stel n is een geheel getal groter dan 1. De getallen n en n + 1 verschillen slechts 1 en hebben dus geen gemeenschappelijke priemfactoren.

Snap je dit?

#3

janamdo

    janamdo


  • >250 berichten
  • 324 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 12 maart 2011 - 11:14

Snap je dit?


correctie

Veranderd door janamdo, 12 maart 2011 - 11:17


#4

janamdo

    janamdo


  • >250 berichten
  • 324 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 12 maart 2011 - 12:15

janamdo schreef (op 12 March 2011, 00:48):
Stel n is een geheel getal groter dan 1. De getallen n en n + 1 verschillen slechts 1 en hebben dus geen gemeenschappelijke priemfactoren.

Snap je dit?

nee ..waarom zouden ze dit niet hebben, hieronder lijken 2 en 3 dit wel te hebben, maar 1 is een neutraal element voor vermenigvuldigen, dus zou je die 1 moeten weglaten?
In feite zou je dan alle andere getallen dan de priemgetallen ook nog met 1 kunnen gaan vermenigvuldigen
2= 1 x2
3= 1x 3
4= 2x2
5= 1x5


2= 1x2
3= 1x3
4 = 1x2x2

Trouwens schiet me binnendat 1 niet als een priemgetal word beschouwd
Maar ja, hoe schrijf je dan 2 als priemfactor ..en 3 ... antwoord dit zijn de priemgetallen zelf dus deze kan je niet in priemfactoren ontbinden

De bewering is :
Stel n is een geheel getal groter dan 1. De getallen n en n + 1 verschillen slechts 1 en hebben dus geen gemeenschappelijke priemfactoren.

De bewering geld dan alleen voor niet priemgetallen...de natuurlijke getallen zonder priemgetallen
De bedoeling is ook om de oneindigheid van de priemgetallen aan te tonen middels een oneindig natuurlijk getal wat niet priem is
Dus vergeten we de priemgetallen zelf hier en de getallen n en n+1 zijn geen priemgetallen
De hoofdstelling zegt nog wel dat er voor de natuurlijke getallen (niet priem) er onderling gelijke factoren kunnen voorkomen, maar er is éénduidige ontbinding
voorbeeld
4= 2x2
6= 2x3
Nee ik zit niet goed ..
De getallen n en n + 1 verschillen slechts 1 en hebben dus geen gemeenschappelijke priemfactoren.

Deze uitdrukking geldt wel degelijk voor alle natuurlijke getallen
1=1
2=2
3=3
4=2x2
5=1x5
6=2x3
7=1x7
8=2x2x2

Ik zie wel uit deze bovenstaande getallen dat er geen gemeenschappelijke priemfactoren te vinden zijn in een opvolger van een getal.
Maar de vraag was waarom dit zo is?..
Je kunt je ook afvragen waarom er wel gemeenschappelijke priemfactoren te vinden zijn
Het lijkt zo eenvoudig ,maar probeer er maar eens een wiskundig antwoord op te vinden


(de hoofdstellling vande rekenkunde : de éénduidigheid van de priemontbinding) zegt wel dat er onderling gelijke priemfactoren kunnen voorkomen tussen twee natuurlijk getallen ( niet-priem), maar zegt niet voor welke getallens dit zijn
Blijkbaar niet voor de getallen n en n+1 ?

#5

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6703 berichten
  • VIP

Geplaatst op 12 maart 2011 - 13:07

Maar ja, hoe schrijf je dan 2 als priemfactor ..en 3 ... antwoord dit zijn de priemgetallen zelf dus deze kan je niet in priemfactoren ontbinden

Het getal 2 heeft maar een priemfactor en dat is 2 zelf.
Het getal 3 heeft maar een priemfactor en dat is 3 zelf.
Dit geldt natuurlijk voor alle priemgetallen.

Ik zie wel uit deze bovenstaande getallen dat er geen gemeenschappelijke priemfactoren te vinden zijn in een opvolger van een getal. Maar de vraag was waarom dit zo is?..

Stel dat geldt n = r*p met r een natuurlijk getal en p een priemgetal (dit betekent dus dat p een deler is van n). Bekijk nu (n+1)/p. Kan dit ooit een natuurlijk getal zijn?

#6

janamdo

    janamdo


  • >250 berichten
  • 324 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 12 maart 2011 - 17:01

Het getal 2 heeft maar een priemfactor en dat is 2 zelf.
Het getal 3 heeft maar een priemfactor en dat is 3 zelf.
Dit geldt natuurlijk voor alle priemgetallen.


Stel dat geldt n = r*p met r een natuurlijk getal en p een priemgetal (dit betekent dus dat p een deler is van n). Bekijk nu (n+1)/p. Kan dit ooit een natuurlijk getal zijn?


Ok de bewering was
Stel n is een geheel getal groter dan 1. De getallen n en n + 1 verschillen slechts 1 en hebben dus geen gemeenschappelijke priemfactoren.

De volgende redenering is om vast te stellen dat een natuurlijk getal en zijn opvolger nooit gemeenschappelijk priemfactoren hebben
dus n=r*p => r= n/p
stel (n+1)/p => (r*p+1)/p => r +1/p

Dus stel dat er wel een getal met zijn opvolger een gemeenschappelijke priemfactor hebben leid tot een tegenspraak
r+ 1/p is geen natuurlijk getal meer lijkt me

In ieder geval bestaat een getal en zijn opvolger uit priemfactoren maar zijn niet gemeenschappelijk
Zit ik zo inde goede richting?
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Het bewijs gaat verder..

Dat betekent dat het getal N2 = n(n + 1) ten minste twee verschillende priemfactoren heeft.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ik weet nu iets van de twee getallen n en n+1 dat ze geen gemeenschappelijke priemfactoren hebben en dat ze uit priemfactoren bestaan, maar of deze getallen uit meer dan twee of slechts uit twee priemgetallen kunnen bestaan?

Hoe bewijs je dit weer?

Veranderd door janamdo, 12 maart 2011 - 17:14


#7

janamdo

    janamdo


  • >250 berichten
  • 324 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 12 maart 2011 - 17:41

Ik zat er nog verder over na te denken..
Stel n= r*p en n+1=s*p

stel dat de getallen n en n+1 wel een gemeenschappelijk priemgetal zouden hebben dan geldt

p = n/r en p =(n+1)/s= s/n +1/s

Dit leidt ook tot een tegenspraak 1/s is ook geen natuurlijk getal

Of kan dit helemaal niet zoal ik het stel?

#8

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6703 berichten
  • VIP

Geplaatst op 12 maart 2011 - 18:01

Je weet dat het getal n minstens 1 priemfactor bevat. Je weet dat het getal (n+1) minstens 1 priemfactor bevat. Bovendien weet je dat de twee priemfactoren niet gelijk zijn. Het getal n*(n+1) bevat dus minstens 2 priemfactoren. Het getal (n*(n+1) + 1) bevat minstens 1 priemfactor. Bovendien weet je dat deze priemfactor verschilt van de twee priemfactoren in n*(n+1). Het getal n*(n+1)*(n*(n+1) + 1) bevat dus minstens 3 priemfactoren. Kun je een getal samenstellen dat minstens 4 priemfactoren moet bevatten?

#9

janamdo

    janamdo


  • >250 berichten
  • 324 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 12 maart 2011 - 19:26

Je weet dat het getal n minstens 1 priemfactor bevat. Je weet dat het getal (n+1) minstens 1 priemfactor bevat. Bovendien weet je dat de twee priemfactoren niet gelijk zijn. Het getal n*(n+1) bevat dus minstens 2 priemfactoren. Het getal (n*(n+1) + 1) bevat minstens 1 priemfactor. Bovendien weet je dat deze priemfactor verschilt van de twee priemfactoren in n*(n+1). Het getal n*(n+1)*(n*(n+1) + 1) bevat dus minstens 3 priemfactoren. Kun je een getal samenstellen dat minstens 4 priemfactoren moet bevatten?


weer lastig , want bestaan er wel getallen n en n+1 die uit 1 priemfactor bestaan? ..ja 2 en 3 , maar 4 en 5 niet
Voor mij is het niet zo voorde hand liggend..helaas

#10

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 12 maart 2011 - 19:30

Er wordt niet gezegd dat n en n+1 uit 1 priemfactor bestaan. Wel dat ze uit MINSTENS 1 priemfactor bestaan. En dat deze priemfactor verschillend is. Dit laatste is logisch, want
Verborgen inhoud
als p n deelt, dan kan p nooit meer n+1 delen, want dan zou p 1 moeten delen (zie je dit?).
Kun je van hieruit weer verder? Vaak zijn kleine nuances, zoals hier "minstens", datgeen wat echt van belang is.

EDIT: misschien/hopelijk was het een typfout, maar 5 bestaat wél uit 1 priemfactor. Namelijk 5.

Veranderd door Drieske, 12 maart 2011 - 19:40

Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#11

janamdo

    janamdo


  • >250 berichten
  • 324 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 12 maart 2011 - 20:25

Er wordt niet gezegd dat n en n+1 uit 1 priemfactor bestaan. Wel dat ze uit MINSTENS 1 priemfactor bestaan. En dat deze priemfactor verschillend is. Dit laatste is logisch, want

Verborgen inhoud
als p n deelt, dan kan p nooit meer n+1 delen, want dan zou p 1 moeten delen (zie je dit?).
Kun je van hieruit weer verder? Vaak zijn kleine nuances, zoals hier "minstens", datgeen wat echt van belang is.

EDIT: misschien/hopelijk was het een typfout, maar 5 bestaat wél uit 1 priemfactor. Namelijk 5.


Gaat erom om dat een priemgetal minstens uit éen priemgetal kan bestaan en de opvolger ook
voorbeeld 2 (2) en 3 (3) ..2+3
tegenvoorbeeld is : 4 ( 2 x 2) en 5 ( 5 )..4+5
De bewijsvoering gaat uit van dit gegeven ok
Ik was er al uit dat n en n+1 geen gemeenschappelijke priemfactoren kunnen hebben

#12

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 12 maart 2011 - 20:36

Gaat erom om dat een priemgetal minstens uit éen priemgetal kan bestaan en de opvolger ook
voorbeeld 2 (2) en 3 (3) ..2+3
tegenvoorbeeld is : 4 ( 2 x 2) en 5 ( 5 )..4+5

Ik snap niet echt voor wat dit een tegenvoorbeeld is of zou moeten zijn... Of bedoel je dit mss als tegenvoorbeeld voor niet uit juist 1 priemfactor bestaan? Maar dan snap ik niet waar dit voor een "conflict" zorgt in het bewijs.

Veranderd door Drieske, 12 maart 2011 - 20:40

Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#13

janamdo

    janamdo


  • >250 berichten
  • 324 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 12 maart 2011 - 21:09

Gaat erom om dat een priemgetal minstens uit éen priemgetal kan bestaan en de opvolger ook
voorbeeld 2 (2) en 3 (3) ..2+3
tegenvoorbeeld is : 4 ( 2 x 2) en 5 ( 5 )..4+5
De bewijsvoering gaat uit van dit gegeven ok ..waarom is nog niet meteen duidelijk, maar daarvoor moet ik het bewijs nog eens nalezen, maar het gaat me meer om het idee wat hier achter zit.
Blijkbaar is deze aanname genoeg omdat er N getallen geconstrueerd kunnen worden die uit n verschillende priemfactoren bestaat
Hieronder dan voor N2 en N3 en nu moet ik N 4 opstellen
Ik was er al uit dat n en n+1 geen gemeenschappelijke priemfactoren kunnen hebben

Weer even verder met..

Je weet dat het getal n minstens 1 priemfactor bevat. Je weet dat het getal (n+1) minstens 1 priemfactor bevat. Bovendien weet je dat de twee priemfactoren niet gelijk zijn. Het getal n*(n+1) bevat dus minstens 2 priemfactoren. Het getal (n*(n+1) + 1) bevat minstens 1 priemfactor. Bovendien weet je dat deze priemfactor verschilt van de twee priemfactoren in n*(n+1). Het getal n*(n+1)*(n*(n+1) + 1) bevat dus minstens 3 priemfactoren. Kun je een getal samenstellen dat minstens 4 priemfactoren moet bevatten?


n
n+1
N2= n*(n+1)

n*(n+1)+1
N3 = n*(n+1)*(n*(n+1)+1) => 3 priemgetallen

(n*(n+1)*(n*(n+1)+1))+1 => 1 priemgetal
N4 =( n*(n+1)*(n*(n+1)+1) )*((n*(n+1)*(n*(n+1)+1))+1)
N4 = N3 *((n*(n+1)*(n*(n+1)+1))+1) kan je ook zo schrijven => 4 priemgetallen

De conclusie is dat elke willekeurig natuurlijk getal kunt bereiken met een voorganger en opvolger stap
Praktisch betekent dit: neem het getal 1000 en dat de getallen 1 tot en met 1000 minstens ieder één priemfactor bevatten die van elkaar verschillen
Ze kunnen ook meer dan één priemfactor bevatten.... dan zou het aantal priemgetallen ook oneindig zijn
Het is me nu duidelijk waarom het nu "tenminste één priemfactor" is/moet zijn .. dat weet je zeker en je kunt dit koppelen aan een getalsgrootte
Dan zijn er dus oneindig veel priemgetallen..zou ik zeggen
Spreekt me welaan dit constructieve bewijs

#14

janamdo

    janamdo


  • >250 berichten
  • 324 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 12 maart 2011 - 21:15

Ik snap niet echt voor wat dit een tegenvoorbeeld is of zou moeten zijn... Of bedoel je dit mss als tegenvoorbeeld voor niet uit juist 1 priemfactor bestaan? Maar dan snap ik niet waar dit voor een "conflict" zorgt in het bewijs.


Ja ..dat komt omdat je het bewijs al kent ;)
Inderdaad een tegenvoorbeeld voor het niet juist uit uit 1 priemfactor bestaan van n en n+1 ( neem 4+1=5 , dus 4 en 5 )

Ik vroeg me af waarom "tenminste" een voldoende voorwaarde is, maar dat werd me hierboven duidelijk in mijn post
Leuk dat jullie me de goede richting heen helpen omdit bewijs te doorgronden

Veranderd door janamdo, 12 maart 2011 - 21:19


#15

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 12 maart 2011 - 21:28

Het idee van het bewijs is dat je een bijectie (ken je dit begrip?) gaat leggen tussen de natuurlijke getallen en de priemgetallen. Kort gezegd, gaan we een afbeelding P construeren waarvoor geldt (ik noteer met N de natturlijke getallen):
P: N -> {priemgetallen}: k -> N_k met N_k een priemgetal. Als deze afbeelding bijectief is, dan moeten er wel oneindig veel priemgetallen zijn. Want er zijn oneindig veel natuurlijke en aan elk natuurlijk koppel ik juist één priem. Nu moet je nog bewijzen dat er aan elk natuurlijk een priem kan gekoppeld worden.

PS even geheel terzijde wil ik nog opmerken dat er ook nog andere bewijzen bestaan van de "oneindigheid der priemgetallen"... Indien je interesse hebt daarin, zeg je het maar. Daarom niet even "constructief", maar als het je enkel gaat over de oneindigheid, mss ook wel leuk om es te zien.

Veranderd door Drieske, 12 maart 2011 - 21:31

Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures