\(\left( u_{n}\right) _{n}\)
op [0,1] is die uniform convergeren naar de vierkantswortel.Voor de aanpak ga ik deze rij inductief definiëren. Ik stel
\(u_0 :=0\)
en stel dat ik de functies \(u_{0},...,u_{n}\)
reeds inductief bepaald heb zodanig dat \(0\leq u_{0}\leq u_{1}\leq u_{2}\leq ...\leq u_{n}\leq \sqrt{}\leq 1\)
Ik definieer \(u_{n+1}(t) :=u_{n}(t) +\dfrac{1}{2}\left( t-u_{n}^{2}(t) \right)\)
Het is duidelijk te zien dat dit een stijgend rijtje polynomen is. Als dit ook langs boven begrensd is, dan heb ik dat voor de puntsgewijze limiet geldt dat\(u(t)=\lim\limits_{n\rightarrow \infty }u_{n+1}(t)= \lim\limits_{n\rightarrow \infty }u_{n}(t)+\dfrac{1}{2}\left( t-\lim\limits_{n\rightarrow \infty }u_{n}^{2}(t)\right) = u(t) +\dfrac{1}{2}\left( t-u^{2}(t) \right) \)
waaruit uiteraard moet volgen dat u(t) de wortelfunctie is. De uniformiteit van de limiet volgt dan uit de stelling van Dini. Het is echter het langs boven begrensd zijn van deze rij waar ik vast bij zit. Ik wil namelijk inductief bewijzen dat
\(\forall n\in \mathbb{N}:u_{n}\leq \sqrt{}\)
.Het lijkt me evident om dit per inductie te bewijzen. Voor
\(u_0\)
is het uiteraard triviaal waar, maar kan iemand me helpen bij de inductiestap dat als het voor \(u_n\)
waar is dan ook voor \(u_{n+1}\)
?Help me aub want ik word hier depressief van.
