Wetenschapsforum

Ik heb een vraagje omtrent de volgende integraal:

$ ${\displaystyle \int\frac{(ax+b)}{(cx+q)}\,dx}$

Ik trachtte het op te lossen met substitutie methode:

Stel: cx+q = u

=> d (cx+q) = du

=> c dx = du

=> dx = du/c

Als ik die integraal nu splits in:

$ ${\displaystyle \int\frac{ax}{(cx+q)}\,dx } + ${\displaystyle \int\frac{b}{(cx+q)}\,dx}$

dan kan ik a en b voorop zetten en mijn substitutie toepassen, maar bij eerste gedeelte zit ik dan nog steeds met een x in de teller.

Kan ik dan van cx+q = u het volgende ervan maken ? x =

$\frac{u-q}{c}$

Ik ben er hier niet 100% zeker van aangezien ik het nog nooit iemand zag doen, vandaar mijn post.

Mocht er iemand een betere manier van oplossen hebben, dan hoor ik het natuurlijk ook graag

Alvast bedankt !

Laat ik een getallen vb geven:

$\frac{2x-3}{x+2}=\frac{2(x+2)-3}{x+2}=\frac{2}{x+2}+\frac{1}{x+2}}$

Zie je wat er gebeurt? Waarom werkt dit bij integratie?

Probeer dit algemeen te maken.

Gewist

Rectificatie:

Laat ik een getallen vb geven:

$\frac{2x-3}{x+2}=\frac{2(x+2)-3}{x+2}=2+\frac{1}{x+2}}$

Zie je wat er gebeurt? Waarom werkt dit bij integratie?

Probeer dit algemeen te maken.

Safe schreef:Rectificatie:

Laat ik een getallen vb geven:

$\frac{2x-3}{x+2}=\frac{2(x+2)-3}{x+2}=2+\frac{1}{x+2}}$
Zie je wat er gebeurt? Waarom werkt dit bij integratie?

Probeer dit algemeen te maken.

Door als volgt te redeneren:

Ik zie wel dat je +4 toevoegt in de teller om de integral makkelijker te maken.

Want als we nu de breuk splitsen dan kunnen we (x+2) van de eerste gedeelte zowel in de teller als in de noemer schrappen.

Wel moeten we nog het volgende bijtellen om het overeen te laten komen met de opgave:

$\frac{-7}{x+2}$

$\frac{2x-3}{x+2}=\frac{2(x+2)-7}{x+2}=\frac{2(x+2)}{x+2} - \frac{7}{x+2}=2 - \frac{7}{x+2}$

En dit vormt natuurlijk helemaal geen obstakel meer om er een primitieve van te vinden.

-------------------------------------------------------------------------

Om het nu te veralgemenen voor de integralen in de vorm van:

$${\displaystyle \int\frac{ax+b}{cx+e}\,dx}$

moet ik dus de teller proberen te schrijven in de vorm van cx+e, daarvoor moet ik

$\frac{a}{c}$

vooropstellen

aangezien

$\frac{a}{c}*(cx+e)=ax+\frac{ae}{c}$

en nu moeten we nog een term (bv. z) bijtellen zodanig dat

$\frac{ae}{c}+z=b$

Dus

$${\displaystyle \int\frac{ax+b}{cx+e}\,dx}=${\displaystyle \int\frac{\frac{a}{c}*(cx+e)+z}{cx+e}\,dx} = ${\displaystyle \frac{a}{c}\int\,dx + \frac{z}{c}\int\frac{d(cx+e)}{cx+e}}$

Wat dus gelijk moet zijn aan

$\frac{ax}{c} + \frac{z}{c}ln|cx+e| + C$

En dit is natuurlijk helemaal iets anders dan wat ik in het begin als uitkomst had.

-------------------------------------------------------------------------

Ik hoop dat ik het nu bij het rechte eind heb,

nogmaals bedankt om me op de juiste weg te helpen

Controle: Differentieer je antwoord!

Wat merk je op als je het differentieert?

Siron schreef:Controle: Differentieer je antwoord!

Wat merk je op als je het differentieert?

Door mijn antwoord te deffirentiëren, kom ik inderdaad terug op mijn opgave, dus de methode werkt wel.

De verwarring kwam bij me op omdat deze integral snel op het bord werd geplaatst toen we met substitutie methode bezig waren,

en er werd bijgezegd dat er minstens 1 keer substitutie op toegepast moest worden.

Nu zie ik dat die 4 constanten (a,b,c en e) niet letterlijk bedoeld waren, maar meer om de vorm van een integraal aan te geven.

De eigenlijke substitutie gebeurt dan natuurlijk bij de 2de gedeelte:

$z*\int\frac{dx}{cx+e}}$

Waarbij cx+e = u

=> d (cx+e) = c dx = du

=> dx = du/c

------------------------------------------------------------------------------

Ik bemerk nu plotseling wel dat de methode die ik gebruikte,

namelijk door eerst de noemer van de opgave gelijk te stellen aan u en daaruit x in functie van u uit te halen,

dat de antwoord op een andere constante na overeenkomt, hetgeen wegvalt als je het deffirentiërt... wat op zich ook niet fout is aangezien er oneindig veel primitieven zijn (tenminste als er één bestaat).

point schreef:Ik hoop dat ik het nu bij het rechte eind heb,

nogmaals bedankt om me op de juiste weg te helpen

Helemaal goed. Succes.

Wetenschapsforum

Integraal (ax+b)/(cx+q)

Integraal (ax+b)/(cx+q)

Re: Integraal (ax+b)/(cx+q)

Re: Integraal (ax+b)/(cx+q)

Re: Integraal (ax+b)/(cx+q)

Re: Integraal (ax+b)/(cx+q)

Re: Integraal (ax+b)/(cx+q)

Re: Integraal (ax+b)/(cx+q)

Re: Integraal (ax+b)/(cx+q)