Springen naar inhoud

Verschil tussen lim (f+g)(x) en lim [f(x)+g(x)]


  • Log in om te kunnen reageren

#1

extremefun1

    extremefun1


  • >25 berichten
  • 45 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 19 maart 2011 - 11:57

Geplaatste afbeelding

Kijk naar het rood omlijnde gedeeltje.
In dit voorbeeld is lim(f+g)(x) = lim [f(x)+g(x)], maar dat is niet altijd het geval volgens het voorbeeld.

Op het eerste gezicht dacht ik dat lim (f+g)(x) en lim [f(x)+g(x)] gewoon verschillende notaties waren van hetzelfde wet.


Ik weet wat lim [f(x)+g(x)] betekend, maar wat betekend lim (f+g)(x)?
En zijn er nog andere notaties voor lim (f+g)(x)?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

317070

    317070


  • >5k berichten
  • 5567 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 19 maart 2011 - 12:55

Ik weet wat lim [f(x)+g(x)] betekend, maar wat betekend lim (f+g)(x)?
En zijn er nog andere notaties voor lim (f+g)(x)?

Het verschil is subtiel, maar (f+g) is de functie die je bekomt als je de functie g optelt bij de functie f (=de volledige functie), met als resultaat een nieuwe functie (f+g). Je telt dus een functie op bij een andere functie om een nieuwe functie te bekomen.

Vervolgens evalueer je die nieuwe functie in x. Dus (f+g)(x).

Bij f(x) + g(x) evalueer je eerst de functie f in x, en de functie g in x, waarna je beide reŽle getallen optelt, met als resultaat een nieuw reŽel getal.

Zoals je ziet, niet helemaal hetzelfde. Voor de optelling maakt het onderscheidt bij de reŽle getallen niet veel uit, lijkt me. Maar dat is dus niet altijd zo, bij andere operatoren of getallenverzamelingen.
What it all comes down to, is that I haven't got it all figured out just yet
And I've got one hand in my pocket and the other one is giving the peace sign
-Alanis Morisette-

#3

extremefun1

    extremefun1


  • >25 berichten
  • 45 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 19 maart 2011 - 14:21

Zoals je ziet, niet helemaal hetzelfde. Voor de optelling maakt het onderscheidt bij de reŽle getallen niet veel uit, lijkt me. Maar dat is dus niet altijd zo, bij andere operatoren of getallenverzamelingen.


Het lijkt me ook niet met reeele getallen, maar waarom mogen ze het rood omlijnd gedeelte dan toch aan elkaar gelijk stellen?

#4

extremefun1

    extremefun1


  • >25 berichten
  • 45 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 19 maart 2011 - 14:32

Ik heb even wat stappen toegevoegd die ze denk weglaten, omdat het voor de hand ligt. Zo snap ik iets beter hoe ze het het rode gedeelte afleiden. Kloppen de stappen zo?


Geplaatste afbeelding



Dat bewijs uit het boek is geen bewijs, maar een definitie lees ik net. Hier staat hij.

Geplaatste afbeelding

#5

Siron

    Siron


  • >1k berichten
  • 1069 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 19 maart 2011 - 19:13

Ik heb even wat stappen toegevoegd die ze denk weglaten, omdat het voor de hand ligt. Zo snap ik iets beter hoe ze het het rode gedeelte afleiden. Kloppen de stappen zo?


Geplaatste afbeelding



Dat bewijs uit het boek is geen bewijs, maar een definitie lees ik net. Hier staat hij.

Geplaatste afbeelding


Ben je er nu uit? Of ...

Je hebt een blad ingevoerd waarbij staat: (f+g)(x) = f(x)+g(x). Als je dit weet dan volgt daar direct uit wat in de rode kader staat (limiet van een som = som van de limieten van de afzonderlijke termen).

Veranderd door Siron, 19 maart 2011 - 19:14


#6

extremefun1

    extremefun1


  • >25 berichten
  • 45 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 19 maart 2011 - 21:23

Dit is mijn denkproces stap voor stap van boven naar beneden.

1. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------
1e stuk uit het boek
lim f(x) = f(a) en lim g(x) = f(b)
2. -------------------------------------------------------------------------------
lim f(x) + lim g(x) = f(a) + g(a) (Afgeleid uit het bovenstaandel)
f(a) + g(a) = (f+g)(a) (definitie die in het boek staat)
Ook gebruik ik dan:
lim f(x) + lim g(x) = lim [f(x) + g(x)]
3. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Zo kom ik tot:
lim (f + g)(x) = lim [f(x) + g(x)]
lim (f + g)(x) = lim f(x) + lim g(x)
lim (f + g)(x) = f(a) + g(a)
lim (f + g)(x) = (f+g)(a)
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------

In het boek voorbeeld springen ze ineens van 1 naar 3
Dat toegevoegde stuk van mij 2 is de volgens mij de enige logische manier om van 1 tot het begin van 3 te komen.
Klopt die stap 2 wel?
Anders snap ik niet hoe ze van 1 naar 3 ineens gaan.

#7

WernerP

    WernerP


  • >25 berichten
  • 42 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 19 maart 2011 - 22:18

lim [f(x) + g(x)] =lim f(x) + lim g(x)


Dit is dus de cruciale stap en die is niet altijd geldig. Een voorwaarde die strikt moet voldaan zijn is dat de limieten =lim f(x) en lim g(x) allebei moeten bestaan en niet oneindig mogen zijn. In elk van de andere gevallen kan je redelijk makkelijk tegenvoorbeelden vinden. Het bewijs dat het anders waar is vind je door de definities van de limieten voor LaTeX uit te schrijven en de beide dan op te tellen. Als er interesse is voor een detailbewijs post dan hier een berichtje en dan zal ik dit wel eens uitschrijven.

Mvg,

#8

extremefun1

    extremefun1


  • >25 berichten
  • 45 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 20 maart 2011 - 23:48

Het kwartje is gevallen. Bedankt voor jullie antwoorden. Ik snap het ;)

#9

extremefun1

    extremefun1


  • >25 berichten
  • 45 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 25 maart 2011 - 00:33

Er komt toch nog een vraagje boven drijven. Het heeft denk ik met de cruciale stap te maken waar WernerP het over had.
Er staat namelijk in het stuk uit de eerste post dat: lim [f(x) + g(x)] =lim f(x) + lim g(x)
Ik ben in de voorgaande bladzijden geen limiet wetten en/of definities tegengekomen waarin dit staat.

f(x) + g(x) = f(x) + g(x)
Kwam ik wel tegen.

Hoe komen ze hieraan?

Veranderd door extremefun1, 25 maart 2011 - 00:45


#10

extremefun1

    extremefun1


  • >25 berichten
  • 45 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 25 maart 2011 - 00:43

..

Veranderd door extremefun1, 25 maart 2011 - 00:44


#11

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 25 maart 2011 - 09:54

Er komt toch nog een vraagje boven drijven. Het heeft denk ik met de cruciale stap te maken waar WernerP het over had.
Er staat namelijk in het stuk uit de eerste post dat: lim [f(x) + g(x)] =lim f(x) + lim g(x)

Dit geldt alleen op voorwaarde dat die twee afzonderlijke limieten in het rechterlid bestaan, zoals eerder al werd aangehaald.

f(x) + g(x) = f(x) + g(x)
Kwam ik wel tegen.

Hoe komen ze hieraan?

Hier staat gewoon twee keer hetzelfde, of bedoelde je iets anders...?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#12

extremefun1

    extremefun1


  • >25 berichten
  • 45 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 25 maart 2011 - 20:08

Sorry een paar kleine foutjes gemaakt: ;) ;)


Er komt toch nog een vraagje boven drijven. Het heeft denk ik met de cruciale stap te maken waar WernerP het over had.
Er staat namelijk in het stuk uit de eerste post dat: lim [(f+g)(x)] =lim f(x) + lim g(x)
Ik ben in de voorgaande bladzijden geen limiet wetten en/of definities tegengekomen waarin dit staat.
Ook staat het nergens bewezen in de voorafgaande pagina's in het boek.

(f+g)(x) = f(x) + g(x) Kwam ik wel tegen, maar ik denk niet dat je er zomaar een lim voor kan zetten zodat je dit krijgt :P :
lim [(f+g)(x)] =lim f(x) + lim g(x)

Hoe komen ze hieraan?

Veranderd door extremefun1, 25 maart 2011 - 20:10


#13

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 26 maart 2011 - 11:38

Wat bedoel je precies, want anders vrees ik dat ik verder in herhaling ga vallen met de uitleg die hier eerder al gegeven werd...

Toch kort: die 'f+g' moet je zien als een nieuwe functie die x afbeeldt op f(x)+g(x). De limiet ervan nemen is dus niets anders dan lim[ (f+g)(x) ] = lim[ f(x) + g(x) ] waar je dus de limiet van de som van beide voorschriften neemt. Dit is slechts gelijk aan lim[ f(x) ] + lim[ g(x) ], dus de som van beide limieten (zie je het verschil?), indien die laatste twee afzonderlijke limieten ook bestaan. Dat is niet altijd het geval.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#14

Math-E-Mad-X

    Math-E-Mad-X


  • >1k berichten
  • 2383 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 26 maart 2011 - 12:21

edit: ik had hier een reactie geplaatst, maar had je bericht verkeerd gelezen.

Veranderd door Math-E-Mad-X, 26 maart 2011 - 12:23

while(true){ Thread.sleep(60*1000/180); bang_bassdrum(); }

#15

extremefun1

    extremefun1


  • >25 berichten
  • 45 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 26 maart 2011 - 20:19

Sorry ik had weer een leesfout gemaakt ik snap het nu helemaal.

Erg bedankt voor jullie hulp ;)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures