Springen naar inhoud

Integraal ((x-a)(x-b))^(1/2)


  • Log in om te kunnen reageren

#1

point

    point


  • >100 berichten
  • 160 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 25 maart 2011 - 16:34

Gegeven LaTeX

Wat dus gelijk is aan LaTeX

En is ook te schrijven in de vorm van: LaTeX

Wetende dat:

sin≤(x) + cos≤(x) = 1
=> tan≤(x) + 1 = sec≤(x)
=> tan≤(x) = sec≤(x) - 1

Dit laatste trekt veel op mijn opgave, dus pas ik de volgende goniometrische substitutie toe:

Stel: LaTeX Was dit een goede keuze ?

Dan: dx = LaTeX

En dus LaTeX

Dan kan ik nog de gemeenschappelijke factor 9/4 buiten de wortelteken brengen,
samen met andere constanten plaats ik die voor de integraal
en pas ik de regel van sec≤(t) - 1 = tan≤(t) toe:

LaTeX

En hier loop ik eigenlijk vast.
Ik weet wel dat d(tan(x)) = sec≤(x)dx, maar dat is hier net niet genoeg.

Ik kan het natuurlijk verder splitsen tot LaTeX

De t-formules schijnen ook niet te helpen.

--------------------------------------------

Wel is het ons verteld dat als we LaTeX gelijkstellen aan LaTeX dan zouden we het wel moeten vinden,
ik probeer het al sinds maandag maar kom eigenlijk niet veel verder dan LaTeX

De moeilijkheid zit er dan in het afleiden van beide leden, waarbij rechterlid 2 veranderlijken heeft.
Vandaar dat ik het maar met de goniometrische substitutie probeerde.

Heb ik ergens fout geredeneerd, of zie ik iets niet ?

Veranderd door point, 25 maart 2011 - 16:37

Heb je een passieve computer ?
Dan kan je WSF helpen met het vouwen van eiwitten en zo de ziekten als kanker en dergelijke te bestrijden:

http://www.wetenscha...showtopic=59270

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 25 maart 2011 - 20:48

Ben je bekend met de formule:
LaTeX ?
Misschien kun je hiermee eens een substitutie proberen... Of jouw manier zou lukken, weet ik niet echt, maar ik zie ook niet hoe verder te gaan. Misschien kan iemand die meer "thuis" is in integralen, je daar alsnog bij helpen.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#3

Siron

    Siron


  • >1k berichten
  • 1069 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 25 maart 2011 - 21:38

Ik zout het proberen als:

Je hebt de integraal geschreven als:
int(sqrt((x-5/2)^2 - (3/2)^2)dx)

Stel eerst (x-5/2) = t dus is dx=dt.
Ingevuld geeft dit:
int(sqrt(t^2 - (3/2)^2)dx)

Stel nu t = (3/2)/cos(u) <-> t = 3/2cos(u).
Je krijgt dt = (3sin(u)/2cos^2(u))du

Je kan de wortel nu anders schrijven:
sqrt(t^2 - (3/2)^2) = sqrt(9/4cos^2(u) - 9/4) = 3/2tan(u)

Vul nu alles in de integraal en reken verder.

#4

point

    point


  • >100 berichten
  • 160 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 26 maart 2011 - 01:07

Je kan de wortel nu anders schrijven:
sqrt(t^2 - (3/2)^2) = sqrt(9/4cos^2(u) - 9/4) = 3/2tan(u)

Vul nu alles in de integraal en reken verder.


Correct, dat is wat ik eigenlijk ook gedaan heb - met andere methode weliswaar -,
ik heb die stap min of meer overgeslagen in mijn bewerking door tan(u) direct om te zetten
naar sin(u)/cos(u) en het dan tegelijk te vermenigvuldigen met andere termen ;)

LaTeX

LaTeX

Nu hebben we minstens 2 opties volgens me, we kunnen het schrijven zoals ik het in mijn eerste post aangegeven heb LaTeX
----------------------------------------------------------------------------------

of we kunnen de t-formules proberen toe te passen op sin(t) aangezien LaTeX ,

sin(t) is immers gelijk aan LaTeX

maar dan hebben we nog een probleemje.

LaTeX

LaTeX

LaTeX

Volgens mij is deze keuze zelfs niet zo prettig.

----------------------------------------------------------------------------------

Mochten we toch nog LaTeX splitsen in 2 integralen door sin≤(t) = 1-cos≤(t) te gebruiken,

dan krijgen we LaTeX

Deze 2 hebben als uitkomst respectievelijk:

LaTeX

en

LaTeX

(Volgens de 'Reference Pages' van Calculus 6th Edition, door James Stewart)

Het lijkt er dus op dat men partiŽle integratie bij de eerste nodig heeft.
Ik zal deze weekend eens proberen uit te pluizen of ik er in de buurt van kan komen.

En ik zal de formule die Drieske aanhaalde ook eens erbij betrekken :P
want het is natuurlijk (nog) niet de bedoeling om deze primitieven helemaal van buiten te leren.

PS: Uit eerste post haal ik: LaTeX

Dan is LaTeX

En is dus LaTeX

Veranderd door point, 26 maart 2011 - 01:16

Heb je een passieve computer ?
Dan kan je WSF helpen met het vouwen van eiwitten en zo de ziekten als kanker en dergelijke te bestrijden:

http://www.wetenscha...showtopic=59270

#5

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 26 maart 2011 - 08:24

Nu hebben we minstens 2 opties volgens me, we kunnen het schrijven zoals ik het in mijn eerste post aangegeven heb LaTeX



En hiermee is het probleem opgelost:
  • LaTeX
  • we hebben nu een rationele functie, splitsen in partieelbreuken brengt de oplossing onmiddellijk


Uiteindelijk geeft dit: LaTeX
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#6

point

    point


  • >100 berichten
  • 160 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 27 maart 2011 - 14:30

En hiermee is het probleem opgelost:

  • LaTeX
  • we hebben nu een rationele functie, splitsen in partieelbreuken brengt de oplossing onmiddellijk


Uiteindelijk geeft dit: LaTeX


Bedankt voor de tip !

Ik ben er nog niet helemaal uit aan deze substitutie methode,
echter is het met nu wel gelukt om het op te lossen mbv PartiŽle integratie en ik kom zo te zien dezelfde uitkomst uit.

Hier is mijn handgeschreven versie (de afbeeldingen zijn elk 1.5 mb groot!)
Blad 1: http://i52.tinypic.com/15egzfs.jpg
Blad 2: http://i52.tinypic.com/vyuyd1.jpg
Heb je een passieve computer ?
Dan kan je WSF helpen met het vouwen van eiwitten en zo de ziekten als kanker en dergelijke te bestrijden:

http://www.wetenscha...showtopic=59270

#7

appelsapje

    appelsapje


  • >100 berichten
  • 120 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 27 maart 2011 - 18:18

Overigens kan je ook nog de substitutie gebruiken (wat ik persoonlijk makkelijker vind):

LaTeX

Kies een van de 2 nulpunten (bv. LaTeX )en stel:
LaTeX = LaTeX

Kwadrateer beide leden, je ziet dat er een factor LaTeX wegvalt, reken om naar x, x-1 en dx, vervangen in de integraal en je bent er normaal gezien.

Veranderd door appelsapje, 27 maart 2011 - 18:18


#8

point

    point


  • >100 berichten
  • 160 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 30 maart 2011 - 23:26

Overigens kan je ook nog de substitutie gebruiken (wat ik persoonlijk makkelijker vind):

LaTeX



Kies een van de 2 nulpunten (bv. LaTeX )en stel:
LaTeX = LaTeX

Kwadrateer beide leden, je ziet dat er een factor LaTeX wegvalt, reken om naar x, x-1 en dx, vervangen in de integraal en je bent er normaal gezien.


Ik zat dus in het begin vast omdat ik niet verder rekende naar x / x+1 volgens me...

Nu kom ik dus wel netjes uit op een rationale functie: LaTeX
Voegen we nu +1-1 toe aan de teller, dan kunnen we de integral splitsen in 2 delen:

LaTeX

Verder kan (1-t≤)^n ontbonden worden in (1-t)^n(1+t)^n
En kunnen we beide integralen splitsen in partieelbreuken.

De eerste valt nog redelijk te doen met 4 onbekenden,
maar bij de 2de met 6 onbekenden duurt het een pak langer bij me en vrees ik dat ik dan ergens een rekenfoutje maak.

Zo verkies ik persoonlijk de methode met goniometrische substitutie,
maar toch aan iedereen bedankt om me door deze lastige opgave te loodsen en verschillende methoden te ontdekken ;)

Veranderd door point, 30 maart 2011 - 23:32

Heb je een passieve computer ?
Dan kan je WSF helpen met het vouwen van eiwitten en zo de ziekten als kanker en dergelijke te bestrijden:

http://www.wetenscha...showtopic=59270

#9

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 31 maart 2011 - 09:07

Ga niet van het volgende uit:

LaTeX

maar van:
LaTeX

#10

WernerP

    WernerP


  • >25 berichten
  • 42 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 31 maart 2011 - 23:10

D'r zijn twee substituties waarmee je in dergelijke situaties uit de voeten kan.
Dit noemt men overigens oneigenlijke integralen van de derde soort (eerste soort zijnde rationale functies, tweede soort met goniometrische functies in).

De eerste is
LaTeX
op voorwaarde dat de vkv ontbindbaar is in factoren.
De tweede is
LaTeX
op voorwaarde dat LaTeX

In beide gevallen valt de LaTeX weg en kan je er x uithalen, vervolgens dx, en heb je een rationale functie, die altijd integreerbaar is.

Deze hebben het voordeel dat je rechtstreeks van soort III naar soort I gaat. Een omweg via goniometrische, dus via soort II is niet altijd evident en werkt zelfs soms contraproductief tenzij in welbepaalde gevallen (LaTeX en zo).





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures