Siron schreef:Je kan de wortel nu anders schrijven:
sqrt(t^2 - (3/2)^2) = sqrt(9/4cos^2(u) - 9/4) = 3/2tan(u)
Vul nu alles in de integraal en reken verder.
Correct, dat is wat ik eigenlijk ook gedaan heb - met andere methode weliswaar -,
ik heb die stap min of meer overgeslagen in mijn bewerking door tan(u) direct om te zetten
naar sin(u)/cos(u) en het dan tegelijk te vermenigvuldigen met andere termen
\(${\displaystyle \int\sqrt{\frac{9}{4}*(\frac{1}{cos²(t)}-1)}*\frac{3sin(t)}{2cos²(t)}dt}\)
\(= \int\frac{3}{2}*\sqrt{tan²(t)}*\frac{3sin(t)}{2cos²(t)}dt}\)
Nu hebben we minstens 2 opties volgens me, we kunnen het schrijven zoals ik het in mijn eerste post aangegeven heb
\(= \frac{9}{4}*\int\frac{sin²(t)}{cos³(t)}dt}\)
----------------------------------------------------------------------------------
of we kunnen de t-formules proberen toe te passen op sin(t) aangezien
\(\frac{dt}{cos²(t)} = d(tan(t))\)
,
sin(t) is immers gelijk aan
\(\frac{2sin(\frac{t}{2})cos(\frac{t}{2})}{sin²(\frac{t}{2})+cos²(\frac{t}{2})}} * \frac{sec²(\frac{t}{2})}{sec²(\frac{t}{2})} = \frac{2tan(\frac{t}{2})}{1+tan²(\frac{t}{2})}\)
maar dan hebben we nog een probleemje.
\(= \frac{9}{4}\int tan(t)*\frac{sin(t)}{cos²(t)}dt}\)
\(= \frac{9}{4}\int tan(t)*sin(t)*d(tan(t))}\)
\(= \frac{9}{4}\int \frac{tan(t)*2tan(\frac{t}{2})*d(tan(t))}{1+tan²(\frac{t}{2})}\)
Volgens mij is deze keuze zelfs niet zo prettig.
----------------------------------------------------------------------------------
Mochten we toch nog
\(= \frac{9}{4}*\int\frac{sin²(t)}{cos³(t)}dt}\)
splitsen in 2 integralen door sin²(t) = 1-cos²(t) te gebruiken,
dan krijgen we
\(\frac{9}{4}* \int sec³(t)dt - \frac{9}{4}* \int sec(t)dt\)
Deze 2 hebben als uitkomst respectievelijk:
\(\frac{9}{4}*\frac{1}{2}*sec(t)*tan(t)+\frac{9}{4}*\frac{1}{2}*ln|sec(t) + tan(t)| + C\)
en
\(-\frac{9}{4}*ln|sec(t) + tan(t)| + C\)
(Volgens de 'Reference Pages' van Calculus 6th Edition, door James Stewart)
Het lijkt er dus op dat men partiële integratie bij de eerste nodig heeft.
Ik zal deze weekend eens proberen uit te pluizen of ik er in de buurt van kan komen.
En ik zal de formule die Drieske aanhaalde ook eens erbij betrekken
want het is natuurlijk (nog) niet de bedoeling om deze primitieven helemaal van buiten te leren.
PS:
Uit eerste post haal ik:
\(x-\frac{5}{2} = \frac{3}{2*cos(t)}\)
Dan is
\(\frac{2}{3}*(x-\frac{5}{2}) = \frac{2x-5}{3} = \frac{1}{cos(t)}\)
En is dus
\( t = Bgcos(\frac{3}{2x-5})\)