Schrijven van differentiaalvergelijking in welke vorm?

Moderators: dirkwb, Xilvo

Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
Reageer
Berichten: 324

Schrijven van differentiaalvergelijking in welke vorm?

Als je begint met eenvoudigste differentiaalvergelijking : scheiding van variabelen en die lineaire DV 1e orde

Dan zijn beide DV's in een differentiaalvorm te schrijven

Neem als voorbeeld : scheiding van variabelen
\( \frac{ dy}{dx} = \frac{g(x)}{f(y)}\)
shrijf deze in differentiaalvorm
\(f(y)dy=g(x)dx\)
Die differentiaalvorm kan je integreren of als differentiaal schrijven, dus
\(\int f(y)dy=\int g(x)dx\)

Berichten: 324

Re: Schrijven van differentiaalvergelijking in welke vorm?

\(f(y)dy=g(x)dx\)
Is F een primitieve van f en is G een primitieve van g dan volgt :
\( d\ F(y) = d\ G(x) \)
De algemene oplossing is nu :
\( F(y) = G(x) + C ... C \in \rr \)
Dit is iets anders dan het integraalteken gebruiken voor het LL en RL van de differentiaalvorm
\(\int f(y)dy=\int g(x)dx\)

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Schrijven van differentiaalvergelijking in welke vorm?

Is het gewoon gebrainstorm voor jezelf dat je hier zet, of hangt er ook een vraag aan vast? Btw, ik begrijp niet goed wat je bedoelt met
Dit is iets anders dan het integraalteken gebruiken voor het LL en RL van de differentiaalvorm
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Berichten: 324

Re: Schrijven van differentiaalvergelijking in welke vorm?

Ik heb hier een 5/6 vwo sigma boek analyse uit 1976 wat werkt met differentiaal vergelijkingen ( 2 types maar)

die in een differentiaalvorm geschreven zijn

Ook de Dv tekenen gebeurt hier in dit boek uitgebreid ..ik heb het idee dat dit tegenwoordig is achterhaald die didactiek

Zou handiger zijn voor het tekenen van een lijnelementveld die differentiaal vorm ?

Kortom ik zit me gewoon af te vragen wat voor een voordeel dit heeft omdie DV in een differentiaalvorm te schrijven?

Schrijf je die DV in differentiaalvorm of niet dan is de manier van oplossen ook verschillend

Daarom is het verstandiger om de gangbare schrijfwijze te volgen

Berichten: 324

Re: Schrijven van differentiaalvergelijking in welke vorm?

Is het gewoon gebrainstorm voor jezelf dat je hier zet, of hangt er ook een vraag aan vast? Btw, ik begrijp niet goed wat je bedoelt met


Dit
\( d\ F(y) = d\ G(x) \)
is een andere bewerking dan
\(\int f(y)dy=\int g(x)dx\)

\( dy = y'.dx = df(x)= f'(x)dx \)

Berichten: 324

Re: Schrijven van differentiaalvergelijking in welke vorm?

Het verband tussen een functie en zijn afgeleide is dat integreren en differentieren elkaars inverse bewerking zijn

Dus om de functie f(x) te krijgen in
\( df(x)= f'(x)dx \)
moet je f'(x) gaan integreren

Was dat niet de hoofdstelling van de integraalrekening ?

Dan krijg je dit soort oplossingsmethodes

los op y.dx= 2x.dx

Opl

In deze dv zijn de variabelen reesd gescheiden. We krijgen

y.dy = 2x.dx => d 1/2.y^2 = d x^2 => 1/2y^2 =x^2+C met C element van R

de alg opl is nu y^2_2x^2=B met B element van R

Dus i.p.v het integraalteken te gebruiken ..gebruik je het teken voor een differentiaal nemen d ( )

Berichten: 324

Re: Schrijven van differentiaalvergelijking in welke vorm?

Ok gaan we verder met

Komt weinig schot in..daarom wat ideetjes

de algemene vorm van een lineaire DV = dy +y.f(x)dx = g(x).dx

Dus als je 3y' - 9y = 39sin(2t) in deze vorm kunt brengen voor t ?

- delen door 3

- vermenigvuldigen met ??? ( linker en rechterlid ) => dx
\(3 \frac{dy}{dx) - 9y = 39sin(2t) \)
Krijg een kind van dat latex..

Berichten: 324

Re: Schrijven van differentiaalvergelijking in welke vorm?

Opnieuw ..eerst maar even de stelling geven voor het oplossen van een 1e orde lineaire DV

De algemene oplossing van de DV
\( dy=y.f(x).dx=g(x)\)
is
\( y=A.e^{-F(x)} + P(x)\ met\ A\in\rr\)
waarin F een primitieve is van f en y=P(x) een particuliere oplossing van de DV is

-----------------------------------------------------------------------
\(3y' - 9y = 39sin(2t)\)
herschrijven in differentiaalvorm
\(3 \frac{dy}{dx} - 9y = 39sin(2t)\)
dus naar deze algemen vorm herschrijven
\( dy=y.f(x).dx=g(x)\)
is

delen door 3 en vermenigvuldigen met dx van
\(3 \frac{dy}{dx} - 9y = 39sin(2t)\)
levert
\( \frac{dy}{dx} - 3y = 13sin(2t)\)
dit is nog niet de standardvorm dus vermenigvuldigen met differentiaal dx

Berichten: 324

Re: Schrijven van differentiaalvergelijking in welke vorm?

Helaas een foutje in de stelling voor de standaard differentiaalvorm van een 1e orde lineaire DV moet zijn
\( dy+y.f(x).dx=g(x).dx\)
( LET OP staat in post#8 fout geschreven..kan het niet meer corrigeren op het forum..irritant)
\( \frac{dy}{dx} - 3y = 13sin(2t)\)
vermenigvuldigen met dx
\( dy - 3y.dx = 13sin(2t).dx\)
dit lijkt op de algemene differentiaalvorm
\( dy+y.f(x).dx=g(x).dx\)
En nu met de stelling hieruit een algemene oplossing opschrijven en lastigst is hier om een particuliere oplossing te vinden lijkt mij

Berichten: 324

Re: Schrijven van differentiaalvergelijking in welke vorm?

janamdo schreef:Helaas een foutje in de stelling voor de standaard differentiaalvorm van een 1e orde lineaire DV moet zijn
\( dy+y.f(x).dx=g(x).dx\)
( LET OP staat in post#8 fout geschreven..kan het niet meer corrigeren op het forum..irritant)
\( \frac{dy}{dx} - 3y = 13sin(2t)\)
vermenigvuldigen met dx
\( dy - 3y.dx = 13sin(2t).dx\)
dit lijkt op de algemene differentiaalvorm
\( dy+y.f(x).dx=g(x).dx\)
En nu met de stelling hieruit een algemene oplossing opschrijven en lastigst is hier om een particuliere oplossing te vinden lijkt mij
Of je vind uit het door jou gevondende DV een particiere oplossing of als dit niet lukt dan kan de DV vermenigvuldigd gaan worden links en rechts waardoor er een differentiaalvergelijking onstaat van de vorm ???

Ik zie dat ik wel ipv x de t moet gebruiken
\( dy - 3y.dt = 13sin(2t).dt\)
proberen om een particlieroplossint te vinden is voor dy= dt en y =sin(2t) in te vullen in de DV

Berichten: 324

Re: Schrijven van differentiaalvergelijking in welke vorm?

As je uit
\( dy - 3y.dt = 13sin(2t).dt\)
een functie y = ?? kunt vinden zodat er een ware bewering voor de DV ( LL + RL ) ontstaat ?

Berichten: 324

Re: Schrijven van differentiaalvergelijking in welke vorm?

janamdo schreef:As je uit
\( dy - 3y.dt = 13sin(2t).dt\)
een functie y = ?? kunt vinden zodat er een ware bewering voor de DV ( LL + RL ) ontstaat ?
Ik weet niet wat ik hiermee aanmoet

Een ander voorbeeld
\(dy+xy\ dx = 2x\ dx\)
Oplossing:

Een particuliere oplossing van de gegeven differentiaalvergelijking is onmiddelijk te zien nl. y= 2. Ga dit na

Helaas: dit is mij nog niet duidelijk: iemand anders wel? ( Wat gebeurt er met dy? )

Een primtieve van
\( f(x)=x .. is F(x)=\frac{1}{2}x^2 \)


De algemene oplossing is dus
\( y= A.e^{-\frac{1}{2}x^2} + 2\)
met A element van R

Berichten: 324

Re: Schrijven van differentiaalvergelijking in welke vorm?

Een ander voorbeeld
\(dy+xy\ dx = 2x\ dx\)
Oplossing:

Een particuliere oplossing van de gegeven differentiaalvergelijking is onmiddelijk te zien nl. y= 2. Ga dit na

Helaas: dit is mij nog niet duidelijk: iemand anders wel? ( Wat gebeurt er met dy? )

Een primtieve van
\( f(x)=x .. is F(x)=\frac{1}{2}x^2 \)
De algemene oplossing is dus
\( y= A.e^{-\frac{1}{2}x^2} + 2\)
met A element van R
Wie o wie ziet ook meteen dat y= 2 een particuliere oplossing is ?

stel y = 2 invullen in DV
\(dy+x.2\ dx = 2x\ dx\)
=> wat met dy ? ..die blijft over

Berichten: 324

Re: Schrijven van differentiaalvergelijking in welke vorm?

janamdo schreef:Wie o wie ziet ook meteen dat y= 2 een particuliere oplossing is ?

stel y = 2 invullen in DV
\(dy+x.2\ dx = 2x\ dx\)
=> wat met dy ? ..die blijft over
wat weet je van dy? ...
\( \frac{dy}{dx}= f'(x) = df(x)= df'(x)*dx\)
Ik denk al dat ik het zie .. dy = afgeleide van 2 * dx ..een afgeleide van een constante is 0 dus is dy = 0 ..dus valt dy weg in de DV

Klopt wel want een horizontale lijn voor y daarvan is de afgeleide 0..de raaklijn valt samen met de horizontale lijn en tan 0 = 0

Berichten: 324

Re: Schrijven van differentiaalvergelijking in welke vorm?

Nu verder met
\( dy - 3y.dt = 13sin(2t).dt\)
Zo te zien is er niet snel een particuliere oplossing te vinden voor deze DV ..dan moet je een particulieroplossing halen uit de dv door deze op 0 te stellen (homogeen maken) en scheiding van variabelen toepassen

De algemene opplossing is dan ook te vinden ..topic gesloten

Reageer