Ik moest bij een opgave de meetbaarheid van een functie nagaan. Nu wou ik om dit te doen, gezien de specifieke aarde van de functie waarvan ik meetbaarheid moet nagaan (zie hieronder voor opgave), proberen om te bewijzen dat de Borel-sigma-algebra op het interval (0, 1] wordt voortgebracht door volgende open intervallen: open intervallen met rationale eindpunten, maar zodat de rationale punten een noemer hebben die een macht van 2 is. Dus
\(\mathcal{B} = \{q | q \in \mathbb{Q}, q = \frac{a}{2^n}, n \in \mathbb{N}_0 \mbox{ en } a \in \mathbb{Z}\}\)
. Alleen weet ik niet zeker of dit de tactiek is en of dit uberhaupt klopt. Voor machten van 10 kan ik het nog wel (vrij simpel) bewijzen denk ik. Maar machten van 2 lukt mij niet echt.
De originele opgave is:
"Bewijs dat
\(\phi : \Omega^0 \rightarrow (0, 1]: (x_n)_n \mapsto \sum_{n=1}^{\infty}\frac{x_n}{2^n}\)
meetbaar is."Hier is
\(\Omega^0\)
de verzameling van {0,1}-rijen zonder nulstaart. En ik heb bewezen dat deze afbeelding bijectief is.