\(\ddot{y}(x) + 2\cdot\dot{y}(x) + 2\cdot y = e^{-x}\sin(x)\)
dan is \(y_P(x) = A\cdot x \cdot e^{-x}\cos(x) + B\cdot x \cdot e^{-x}\sin(x)\)
Nu heeft onze docent gezegd dat je maar een beetje moet 'gokken' maar ik wil dit graag systematisch oplossen. Dus vroeg ik mij af hoe. ----------
Ik heb de volgende diff. vergelijking:
\(\ddot{y}(x) - y(x) = \sin(x) - \cos(x)\)
Nu moet ik dus de homogene en particuliere oplossing vinden. De homogene is makkelijk:
\(y(x) = e^{\lambda\cdot x}, \dot{y}(x) = \lambda\cdot e^{\lambda\cdot x}, \ddot{y}(x) = \lambda^2\cdot e^{\lambda\cdot x}\)
\(\ddot{y}(x) - y(x) = 0 \Rightarrow \lambda^2\cdot e^{\lambda\cdot x} - e^{\lambda\cdot x} = 0 \Leftrightarrow e^{\lambda\cdot x}(\lambda^2 - 1) = 0 \Rightarrow \lambda = 1 \vee \lambda = -1\)
dus
\(y_H(x) = C_1e^x + C_2e^{-x}\)
Vervolgens de particuliere oplossing... Nu moet je een formule kiezen voor \(y_P(x)\)
. Ik neem: \(y_P(x) = A\cdot\sin(x) - B\cdot\cos(x)\)
\(\dot{y}_P(x) = A\cdot\cos(x) + B\cdot\sin(x)\)
\(\ddot{y}_P(x) = -A\cdot\sin(x) + B\cdot\cos(x)\)
Dus \(-A\cdot\sin(x) + B\cdot\cos(x) - (A\cdot\sin(x) - B\cdot\cos(x)) = \sin(x) - \cos(x)\)
\(-2A\cdot\sin(x) + 2B\cdot\cos(x) = \sin(x) - \cos(x)\)
\(A = -\frac{1}{2}, B = \frac{1}{2}\)
Dus homogene + particuliere:\(y_{HP}(x) = C_1e^x + C_2e^{-x} -\frac{1}{2}\cdot\sin(x) + \frac{1}{2}\cdot\cos(x)\)
