Ik vroeg me af of het onderstaande correct is. Verder wil ik graag weten hoe ik de formule die ik bij particuliere oplossing moet gebruiken kan vinden. Hieronder is die gelijk aan hetgene wat rechts van het is teken staat. Echter weet ik van opgaves dat dit vaak niet het geval is.
\(\ddot{y}(x) + 2\cdot\dot{y}(x) + 2\cdot y = e^{-x}\sin(x)\)
dan is
\(y_P(x) = A\cdot x \cdot e^{-x}\cos(x) + B\cdot x \cdot e^{-x}\sin(x)\)
Nu heeft onze docent gezegd dat je maar een beetje moet 'gokken' maar ik wil dit graag systematisch oplossen. Dus vroeg ik mij af hoe.
----------
Ik heb de volgende diff. vergelijking:
\(\ddot{y}(x) - y(x) = \sin(x) - \cos(x)\)
Nu moet ik dus de homogene en particuliere oplossing vinden.
De homogene is makkelijk:
\(y(x) = e^{\lambda\cdot x}, \dot{y}(x) = \lambda\cdot e^{\lambda\cdot x}, \ddot{y}(x) = \lambda^2\cdot e^{\lambda\cdot x}\)
\(\ddot{y}(x) - y(x) = 0 \Rightarrow \lambda^2\cdot e^{\lambda\cdot x} - e^{\lambda\cdot x} = 0 \Leftrightarrow e^{\lambda\cdot x}(\lambda^2 - 1) = 0 \Rightarrow \lambda = 1 \vee \lambda = -1\)
dus
\(y_H(x) = C_1e^x + C_2e^{-x}\)
Vervolgens de particuliere oplossing... Nu moet je een formule kiezen voor
\(y_P(x)\)
. Ik neem:
\(y_P(x) = A\cdot\sin(x) - B\cdot\cos(x)\)
\(\dot{y}_P(x) = A\cdot\cos(x) + B\cdot\sin(x)\)
\(\ddot{y}_P(x) = -A\cdot\sin(x) + B\cdot\cos(x)\)
Dus
\(-A\cdot\sin(x) + B\cdot\cos(x) - (A\cdot\sin(x) - B\cdot\cos(x)) = \sin(x) - \cos(x)\)
\(-2A\cdot\sin(x) + 2B\cdot\cos(x) = \sin(x) - \cos(x)\)
\(A = -\frac{1}{2}, B = \frac{1}{2}\)
Dus homogene + particuliere:
\(y_{HP}(x) = C_1e^x + C_2e^{-x} -\frac{1}{2}\cdot\sin(x) + \frac{1}{2}\cdot\cos(x)\)