'Mega Cindy vliegt horizontaal op een hoogte van 10 km wanneer ze over een controletoren op de grond passeert. Even later wordt de zus van Mindy waargenomen onder een hoek van
\(\frac{\pi}{6}\)
radialen (dit is dus de hoek die wordt gezien vanuit de toren tussen haar en de horizon). Als de hoek op dat moment vermindert aan \(\frac{\pi}{4}\)
radialen/min, hoe snel beweegt Cindy dan in km/u ?'--------------------------------------------------------------------------------------------------
De volgende schets maakt het gemakkelijk om verder met de gegevens te rekenen.
- cindy.png (4.17 KiB) 234 keer bekeken
\( \theta = \pi/6\)
radDan is x =
\( \frac{10}{tan(\pi/6)} = 10\sqrt{3}\)
kmWe weten dat
\(\frac{d \theta}{d t} = \frac{-\pi}{4}\)
rad/minEn we moeten weten wat
\(\frac{d x}{d t}\)
is in km/h--------------------------------------------------------------------------------------------------
Om hiermee verder te kunnen, zoeken we dus eerst een verhouding tussen
\(\theta\)
en x:\(tan(\theta) = \frac{10}{x}\)
\(=> \theta = \arctan(\frac{10}{x})\)
Beide leden afleiden naar t (tijd) geeft dus\(\frac{d \theta}{d t} = \frac{1}{1+\frac{100}{x²}}*\frac{-10}{x²}*\frac{d x}{d t} = \frac{-10}{x²+100}*\frac{dx}{dt}\)
Aangezien we \(\frac{dx}{dt}\)
nodig hebben, brengen we een stuk van rechter- naar linker lid:\(\frac{d \theta}{d t}* \frac{x²+100}{-10} = \frac{dx}{dt}\)
Als we nu
\(\frac{d \theta}{d t}\)
en x daarin invullen dan krijgen wedus
\( \frac{dx}{dt} = \frac{-\pi}{4} * \frac{300+100}{-10} = 10\pi\)
km/minEn dus
\(600\pi\)
km/h.Aangezien ik de juiste antwoord niet weet, heb ik graag een bevestiging of een opmerking
Alvast bedankt!
