Springen naar inhoud

Goniometrische vergelijking


  • Log in om te kunnen reageren

#1

English

    English


  • >100 berichten
  • 126 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 24 april 2011 - 07:12

Hallo allemaal,

goniometrische vergelijkingen zijn al zolang geleden bij mij ondertussen dat het spelen met de formules wat stroefjes gaat. Weten jullie waar ik fout ga?:

cos(3x)+sin(3x)-cos(x) = 0

Verschilformule van Simpson toegepast op de Cosinussen:

<=> -2sin(2x)*sin(x) + sin(3x) = 0
<=> -2sin(x)cos(x)*sin(x) + sin(3x) = 0
<=> -2sin≤(x)cos(x) + sin(3x) = 0

Som voor derde hoek van sin(3x) (OF BETER HIER GEBRUIK MAKEN VAN sin(3x) = sin(2x+x) en dan somformule?Ik heb het voorlopig met derdehoeksformule gedaan:

<=> -2sin≤(x)cos(x) + 3sin(x) - 4sin≥(x) = 0
<=> sin(x)(-2sin(x)cos(x) + 3 - 4sin≤(x)) = 0

Ik vermoed echter dat deze stap niet zo'n goede is (het werken met de derdehoek), omdat je dan met die "3" zit, die je eventueel verder wel na wat knutselen kan in samenwerking met die 4 naar -1 brengen en grondformule toepassen, maar dat levert weinig op - heb ik immers al proberen uit te werken.

Is het beter te werken met sin(3x) = sin(2x+x) of moet ik nog een andere aanpak kiezen om deze oefening op te lossen?

Alvast bedankt voor uw hulp

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9904 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 24 april 2011 - 08:57

<=> -2sin(2x)*sin(x) + sin(3x) = 0
<=> -2sin(x)cos(x)*sin(x) + sin(3x) = 0
<=> -2sin≤(x)cos(x) + sin(3x) = 0

Som voor derde hoek van sin(3x) (OF BETER HIER GEBRUIK MAKEN VAN sin(3x) = sin(2x+x) en dan somformule?Ik heb het voorlopig met derdehoeksformule gedaan:
Dit kan beide

<=> -2sin≤(x)cos(x) + 3sin(x) - 4sin≥(x) = 0
<=> sin(x)(-2sin(x)cos(x) + 3 - 4sin≤(x)) = 0

Gewoon doorgaan!
sin(x)(-2sin(x)cos(x) + 3 - 4sin≤(x)) = 0
sin(x)=0 of -2sin(x)cos(x)+3cos≤(x)-sin≤(x)=0
(cos(x)-sin(x))≤-2(cos≤(x)-sin≤(x))=0

#3

English

    English


  • >100 berichten
  • 126 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 24 april 2011 - 09:21

Ik heb echter wel gezien dat ik helemaal vanboven al een klein foutje heb gemaakt bij het uitschrijven van sin(2x)... Daar moet vanvoor uiteindelijk -4 komen te staan en niet -2, verandert dat iets in dit geval aan de te nemen stappen om hem te factoriseren? ;)

dat wordt dan vanonder sin(x)[-4sinxcosx + 3cos≤x - sin≤x] = 0

<=> sin(x) = 0 ofwel x = k * PI met k element van Z

of

-4sinxcosx + 3cos≤x - sin≤x = 0

hoe ga ik te werk bij die laatste? nog wat spelen met de grondformule?

#4

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9904 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 24 april 2011 - 09:30

Je hebt gelijk, daar heb ik overheen gekeken.

#5

Echelon

    Echelon


  • >25 berichten
  • 67 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 24 april 2011 - 09:41

sin(x) = 0 ofwel x = k * PI met k element van Z

of

-4sinxcosx + 3cos≤x - sin≤x = 0

hoe ga ik te werk bij die laatste? nog wat spelen met de grondformule?


Alles naar sinussen zetten met de hoofdformule en met de formule sin(2x)=2sin(x)cos(x). Dan krijg je een tweedegraadsvgl in sin(x) en daar laat je de discriminant op los!

#6

English

    English


  • >100 berichten
  • 126 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 24 april 2011 - 09:47

Dus als ik het goed begrijp:

-4sinxcosx + 3cos≤x -sin≤x = 0

-2.sin(2x) + 3(1-sin≤x)-sin≤x = 0

<=> -2.sin(2x) + 3 - 4sin≤x = 0

En dan sin(x) = y bijvoorbeeld..

Maar hoe zit dan de substitutie weer in elkaar voor sin(2x), of wil je dat ik cosx ga schrijven als een wortel van de grondformule?

#7

Echelon

    Echelon


  • >25 berichten
  • 67 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 24 april 2011 - 09:52

Ah stom van mij...helemaal over die sin(2x) gekeken. Geen tweedegraadsvgl dus. Ik kijk nog even verder!

#8

Burgie

    Burgie


  • >250 berichten
  • 582 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 24 april 2011 - 09:59

Ik zou het zo doen:
-4sinxcosx + 3cos≤x - sin≤x = 0
<=> -4sinxcosx + 4cos≤x - 1 = 0
<=> -2 sin(2x) + 2 cos(2x) +1 = 0
<=> -sin(2x) + cos(2x) = -1/2
Kwadrateren levert:
sin≤(2x) - 2 sin(2x) cos(2x) + cos≤(2x) = 1/4
<=> 1 - 2 sin(2x) cos(2x) = 1/4
<=> - sin(4x) = -3/4
...

Veranderd door Burgie, 24 april 2011 - 10:00


#9

English

    English


  • >100 berichten
  • 126 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 24 april 2011 - 15:12

@Burgie: Die methode geeft een oplossing voor het afzonderen maar levert niet de juiste oplossing door dat kwadrateren... moet ik dan uiteindelijk terug opnieuw de wortel nemen om de oplossing te vinden, want door dan aan beide kanten de Bgsin te nemen en gewoon uit te werken kom ik een foute waarde uit...

#10

Echelon

    Echelon


  • >25 berichten
  • 67 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 24 april 2011 - 15:40

Als je weet dat sin(4x) = 3/4, dan weet je toch dat x gelijk is aan Bgsin(3/4)/4?

En als in een vergelijking beide leden gelijk zijn, moet hun kwadraat toch ook gelijk zijn? Dan mag je dus altijd beide leden kwadrateren. Soms moet je wel voorwaarden stellen, maar dat was hier niet het geval. Bijvoorbeeld:

LaTeX

Kwadrateren geeft 3x+5 = x≤-6x+9, maar er zijn een aantal voorwaarden:

* 3x+5 moet positief zijn opdat de wortel bestaat

* x≤-6x+9 moet positief zijn, want het is gekwadrateerd

En verder is het oplossen van een kwadratische vgl. Dat terzijde ;)

#11

English

    English


  • >100 berichten
  • 126 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 24 april 2011 - 15:49

Inderdaad, dat dacht ik dus.. maar die oplossing stelt dan dat x = 0.21 enz... als je dat invult in de originele vergelijking, krijg je helemaal niet dat dat een nuloplossing is. Of ben ik nu echt verstrooid aan het doen? :')

#12

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9904 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 24 april 2011 - 20:46

-sin(2x) + cos(2x) = -1/2

Ik heb weer even tijd ...

Bovenstaande verg is van de vorm acos(x)+bsin(x)=c
Hier krijgen we:
LaTeX
Bij de opl van Burgie moet je echt de opl die voldoen aan (*) er uit zeven.

#13

Burgie

    Burgie


  • >250 berichten
  • 582 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 25 april 2011 - 09:35

Inderdaad, dat dacht ik dus.. maar die oplossing stelt dan dat x = 0.21 enz... als je dat invult in de originele vergelijking, krijg je helemaal niet dat dat een nuloplossing is. Of ben ik nu echt verstrooid aan het doen? :')

Zoals Safe zegt zal je bij mijn oplossingsmethode eigenlijk meer oplossingen bekomen dan voor de oorspronkelijke vergelijking (die 0.21 is immers niet de enige oplossing). Je zal dus nog moeten toetsen welke van de oplossingen ook effectief een oplossing is voor de oorspronkelijke vergelijking.

Verder is de methode van Safe iets eleganter, ik had er persoonlijk niet aan gedacht om op zo'n manier te werk te gaan ;)

#14

zara

    zara


  • >100 berichten
  • 102 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 25 april 2011 - 13:32

Je kunt de vraag ook benaderen door proeven te doen met var. hoeken per antwoord.

Ik begon met x=15 gr. en voerde dit op en kom bij x= 33 graden dicht bij het antwoord
dus cos 99+sin 99-cos 33=ongeveer 0

De vergelijking van Burgie sin4x=0.75 levert een x op van 12.1476 gr en in de oorspr. vergelijking dus ook geen nulwaarde voor die vergelijking,maar ongeveer 0.4.

Veranderd door zara, 25 april 2011 - 13:42


#15

Burgie

    Burgie


  • >250 berichten
  • 582 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 25 april 2011 - 14:30

Je kunt de vraag ook benaderen door proeven te doen met var. hoeken per antwoord.

Dit is geen analytische oplossing, waarmee je bovendien makkelijk meerdere oplossingen kan vergeten.

De vergelijking van Burgie sin4x=0.75 levert een x op van 12.1476 gr en in de oorspr. vergelijking dus ook geen nulwaarde voor die vergelijking,maar ongeveer 0.4.

Mijn vergelijking levert de oplossingen 4x = arcsin(3/4) + 2*k*pi en 4x = pi - arcsin(3/4) + 2*k*pi, of: x = 1/4*arcsin(3/4) + k*pi/2 en x = pi/4 - 1/4*arcsin(3/4) + k*pi/2, met k een geheel getal. Met andere woorden, een ganse reeks oplossingen die je dient te verifiŽren met de oorspronkelijke vergelijking.

Veranderd door Burgie, 25 april 2011 - 14:32






0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures