het lukt mij niet om devolgende integraal correct uit te werken
\( \frac{2\pi^2}{9(2\pi)^4} \int d\textbf{q}_1 \int d\textbf{q}_2 \left[ \delta_D\left(\frac{|\textbf{q}_1 + \textbf{q}_2|}{\Lambda} \right)\right]^2 (\textbf{q}_1 \cdot \textbf{q}_2)^2 \frac{\Delta^2(q_1) \Delta^2(q_2)}{q_1^3 q_2^3} \)
met \(\Lambda\)
een constante. Het resultaat zou moeten geschreven worden als een integraal over q_1 en in het integrandum mag \( \Delta^2(q_1)\)
blijven staan.\( = \frac{2\pi^2}{9(2\pi)^4} \int q_1^4 dq_1 \int q_2^4 dq_2 \frac{ \Delta^2(q_1) \Delta^2(q_2)}{q_1^3 q_2^3} \Lambda^2 \left[ \delta_D\left(|\textbf{q}_1 + \textbf{q}_2| \right)\right]^2 \int d\Omega_{\textbf{q}_1}\int d\Omega_{\textbf{q}_2}(\hat{\textbf{q}}_1 \cdot \hat{\textbf{q}}_2)^2 \)
\( = \frac{2\pi^2\Lambda^2}{9(2\pi)^4} \int q_1 dq_1 \int q_2 dq_2 \Delta^2(q_1) \Delta^2(q_2) \left[ \delta_D\left(|\textbf{q}_1 + \textbf{q}_2| \right)\right]^2 \int d\Omega_{\textbf{q}_1}\int d\Omega_{\textbf{q}_2}(\hat{\textbf{q}}_1 \cdot \hat{\textbf{q}}_2)^2 \)
met voorbeeld \(\hat{\textbf{q}}_2)^2 \)
een eenheidsvectorHier zit ik vast. Hoe moet ik nu het kwadraat van die Dirac Delta functie laten inwerken ? En wat met het angulair gedeelte? Als ik q_2 langs de z-as kies, wat voor effect heeft dit dan op de integraal over het angulair gedeelte? Iemand enig voorstel?
