Springen naar inhoud

Limieten van goniometrische functies


  • Log in om te kunnen reageren

#1

mcfaker123

    mcfaker123


  • >1k berichten
  • 1135 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 01 mei 2011 - 18:58

Hallo, ik heb een probleem bij het oplossen van 2 limieten.
De eerste limiet klopt wel, maar als ik de 2de oplos, kom ik een incorrect resultaat uit.
Weet iemand hoe dit komt?

Hartelijk Bedankt!

Geplaatste afbeelding

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 01 mei 2011 - 19:04

Waarom denk je/hoe weet je dat: LaTeX ? Geef je redenering hiervoor eens... Bedenk meteen ook eens hoe je weet dat LaTeX .

Veranderd door Drieske, 01 mei 2011 - 19:05

Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#3

mcfaker123

    mcfaker123


  • >1k berichten
  • 1135 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 01 mei 2011 - 19:08

Hoe moet je die dan berekenen?

Ik dacht dat zowel lim [(sin(x))/x] = 0 als lim [(tan(x))/x] = 0 als lim [(cos(x))/x] = 0

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 01 mei 2011 - 19:14

Hoe moet je die dan berekenen?

Ik dacht dat zowel lim [(sin(x))/x] = 0 als lim [(tan(x))/x] = 0 als lim [(cos(x))/x] = 0

De eerste twee wel (1 i.p.v. 0 !!); je kan de tweede aantonen door de eerste te gebruiken.
Maar die derde: wat wordt de teller in 0? En de noemer? Dus dat kan niet...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

mcfaker123

    mcfaker123


  • >1k berichten
  • 1135 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 01 mei 2011 - 19:18

hoe moet je dan lim [ cos(x)/x ] berekenen? want die staat ook bij de opgaven!

#6

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 01 mei 2011 - 19:18

Hoe moet je die dan berekenen?

Ik dacht dat zowel lim [(sin(x))/x] = 0 als lim [(tan(x))/x] = 0 als lim [(cos(x))/x] = 0

Ik zal je voor cos(x) eerst een intuitief argument geven. Bedenk dat dicht bij 0 de cos ook bijna 1 is (maakt het uit of je langs je heel klein negatief of heel klein positief bent voor het teken van cos(x)?). Dus gedraagt cos(x)/x zich ongeveer gelijk ??? De rest vul je zelf maar aan indien mogelijk. Merk op dat je finaal antwoord afhangt van het antwoord op de vraag: maakt het uit of je langs je heel klein negatief of heel klein positief bent voor het teken van cos(x)?.

De limiet van sin(x)/x vind je met L'Hopital...

En de limiet van tan(x)/X. Die kun je vinden via de identiteit: tan(x) = sin(x)/cos(x).

EDIT: ik veronderstel btw dat de nullen toch typfouten zijn en een n moeten zijn h?

Veranderd door Drieske, 01 mei 2011 - 19:20

Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#7

mcfaker123

    mcfaker123


  • >1k berichten
  • 1135 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 01 mei 2011 - 19:25

Ik zal je voor cos(x) eerst een intuitief argument geven. Bedenk dat dicht bij 0 de cos ook bijna 1 is (maakt het uit of je langs je heel klein negatief of heel klein positief bent voor het teken van cos(x)?). Dus gedraagt cos(x)/x zich ongeveer gelijk ??? De rest vul je zelf maar aan indien mogelijk. Merk op dat je finaal antwoord afhangt van het antwoord op de vraag: maakt het uit of je langs je heel klein negatief of heel klein positief bent voor het teken van cos(x)?.

De limiet van sin(x)/x vind je met L'Hopital...

En de limiet van tan(x)/X. Die kun je vinden via de identiteit: tan(x) = sin(x)/cos(x).

EDIT: ik veronderstel btw dat de nullen toch typfouten zijn en een n moeten zijn h?

ja sorry, het moest 1 zijn ipv 0

#8

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 01 mei 2011 - 19:26

ja sorry, het moest 1 zijn ipv 0

Okee ;). Maar kun je met deze tips ook zien wat de limiet is van cos(x)/x?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#9

mcfaker123

    mcfaker123


  • >1k berichten
  • 1135 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 01 mei 2011 - 19:36

Okee ;). Maar kun je met deze tips ook zien wat de limiet is van cos(x)/x?


Eigenlijk kun je cos(x)/x zien als een rationale functie. Dan als je de limiet berekent volgens de rekenregels van rationale functies kom je aan lim (cos(x)) / lim(x) = 1/0 . Nu, omdat de noemer 0 is en de teller niet gelijk aan nul is, moet je volgens de rekenregels van rationale functies gewoon het tekentabel opstellen en de oplossing eruit halen?

#10

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 01 mei 2011 - 19:41

Mja, maar mijn 1/x is enkel een intuitief argument h... Dus als je het echt correct wilt, moet het, denk ik, nog anders. Maar ivm de 1/0. Dit is toch gwn oneindig? Alleen moet je wel nog 1 ding doen. En dat is kijken of de limiet naar 0 langs de negatieve kant hetz geeft als de limiet naar 0 langs de positieve kant.

Mocht je er niet uit geraken, wil ik wel eens een iets deftiger argument neerschrijven.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#11

mcfaker123

    mcfaker123


  • >1k berichten
  • 1135 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 01 mei 2011 - 19:52

Mja, maar mijn 1/x is enkel een intuitief argument h... Dus als je het echt correct wilt, moet het, denk ik, nog anders. Maar ivm de 1/0. Dit is toch gwn oneindig? Alleen moet je wel nog 1 ding doen. En dat is kijken of de limiet naar 0 langs de negatieve kant hetz geeft als de limiet naar 0 langs de positieve kant.

Mocht je er niet uit geraken, wil ik wel eens een iets deftiger argument neerschrijven.


Ik denk dat als je een cos(x) / x tegenkomt in limieten je gewoon moet onthouden dat het gelijk is aan -/+ ;) , dan is het gemakkelijker :P

#12

Siron

    Siron


  • >1k berichten
  • 1069 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 01 mei 2011 - 20:14

Ik denk dat als je een cos(x) / x tegenkomt in limieten je gewoon moet onthouden dat het gelijk is aan -/+ ;) , dan is het gemakkelijker :P


Je hebt de onbepaaldheid 1/0 = oneindig, nu kan x langs links naar 0 naderen of langs rechts (zoals Drieske al zei). Dat maakt een verschil, anders zou het boek 2 verschillende oplossingen niet geven.

Stel x nadert van links naar 0 dus komt uit het negatieve gebied, x zal naar 0 naderen, maar nooit 0 worden, maar hl klein negatief, zoiets als: -0,00000001 (je kan blijven doorgaan). En als x uit het positieve gebied naar 0 nadert krijg je 0,000001.

Dus wat wordt nu:
LaTeX
LaTeX

LaTeX
LaTeX

< betekent: x blijft steeds iets kleiner dan 0 (linkerlimiet)
> betekent: x blijft steeds iets groter dan 0 (rechterlimiet)

Voor de cos(x) maakt het geen verschil, immers is de linkerlimiet gelijk aan de rechterlimiet en bestaat dus de limiet.

Merk op dat de limiet van een functie enkel en alleen bestaat indien zowel de rechterlimiet als de linkerlimiet bestaan en deze bovendien aan elkaar gelijk zijn.

Veranderd door Siron, 01 mei 2011 - 20:18


#13

mcfaker123

    mcfaker123


  • >1k berichten
  • 1135 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 01 mei 2011 - 20:34

Je hebt de onbepaaldheid 1/0 = oneindig, nu kan x langs links naar 0 naderen of langs rechts (zoals Drieske al zei). Dat maakt een verschil, anders zou het boek 2 verschillende oplossingen niet geven.

Stel x nadert van links naar 0 dus komt uit het negatieve gebied, x zal naar 0 naderen, maar nooit 0 worden, maar hl klein negatief, zoiets als: -0,00000001 (je kan blijven doorgaan). En als x uit het positieve gebied naar 0 nadert krijg je 0,000001.

Dus wat wordt nu:
LaTeX


LaTeX

LaTeX
LaTeX

< betekent: x blijft steeds iets kleiner dan 0 (linkerlimiet)
> betekent: x blijft steeds iets groter dan 0 (rechterlimiet)

Voor de cos(x) maakt het geen verschil, immers is de linkerlimiet gelijk aan de rechterlimiet en bestaat dus de limiet.

Merk op dat de limiet van een functie enkel en alleen bestaat indien zowel de rechterlimiet als de linkerlimiet bestaan en deze bovendien aan elkaar gelijk zijn.


ik heb nog een vraagje:

Bijvoorbeeld de functie f(x)= 1/x die heeft een linker en rechterlimiet voor x ;) 0. En die zijn beiden aan elkaar gelijk: plus oneindig.
Dus bestaat de limiet voor x :P 0 , omdat zowel de linker als rechterlimiet bestaan en ze zijn gelijk aan elkaar, nietwaar?

#14

kotje

    kotje


  • >1k berichten
  • 3330 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 01 mei 2011 - 20:54

Misschien reeksontwikkeling gebruiken van cos(3x)?
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?

#15

Siron

    Siron


  • >1k berichten
  • 1069 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 01 mei 2011 - 21:26

ik heb nog een vraagje:

Bijvoorbeeld de functie f(x)= 1/x die heeft een linker en rechterlimiet voor x ;) 0. En die zijn beiden aan elkaar gelijk: plus oneindig.
Dus bestaat de limiet voor x :P 0 , omdat zowel de linker als rechterlimiet bestaan en ze zijn gelijk aan elkaar, nietwaar?


Ja, dat klopt. Immers zorgt dat kwadraat ervoor dat de noemer altijd positief is.

@Kotje:

Ik denk niet dat Mcfaker123 als reeksontwikkeling kent (of ik kan me natuurlijk ook vergissen).

Veranderd door Siron, 01 mei 2011 - 21:27






0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures