Limieten van goniometrische functies

mcfaker123

Hallo, ik heb een probleem bij het oplossen van 2 limieten.

De eerste limiet klopt wel, maar als ik de 2de oplos, kom ik een incorrect resultaat uit.

Weet iemand hoe dit komt?

Hartelijk Bedankt!

Afbeelding

Drieske

Waarom denk je/hoe weet je dat:

\(\lim_{x \to 0}\frac{\cos(x)}{x} = 1\)

? Geef je redenering hiervoor eens... Bedenk meteen ook eens hoe je weet dat

\(\lim_{x \to 0}\frac{\sin(x)}{x} = 1\)

.

mcfaker123

Hoe moet je die dan berekenen?

Ik dacht dat zowel lim [(sin(x))/x] = 0 als lim [(tan(x))/x] = 0 als lim [(cos(x))/x] = 0

TD

mcfaker123 schreef:Hoe moet je die dan berekenen?

Ik dacht dat zowel lim [(sin(x))/x] = 0 als lim [(tan(x))/x] = 0 als lim [(cos(x))/x] = 0

De eerste twee wel (1 i.p.v. 0 !!); je kan de tweede aantonen door de eerste te gebruiken.

Maar die derde: wat wordt de teller in 0? En de noemer? Dus dat kan niet...

mcfaker123

hoe moet je dan lim [ cos(x)/x ] berekenen? want die staat ook bij de opgaven!

Drieske

mcfaker123 schreef:Hoe moet je die dan berekenen?

Ik dacht dat zowel lim [(sin(x))/x] = 0 als lim [(tan(x))/x] = 0 als lim [(cos(x))/x] = 0

Ik zal je voor cos(x) eerst een intuitief argument geven. Bedenk dat dicht bij 0 de cos ook bijna 1 is (maakt het uit of je langs je heel klein negatief of heel klein positief bent voor het teken van cos(x)?). Dus gedraagt cos(x)/x zich ongeveer gelijk ??? De rest vul je zelf maar aan indien mogelijk. Merk op dat je finaal antwoord afhangt van het antwoord op de vraag: maakt het uit of je langs je heel klein negatief of heel klein positief bent voor het teken van cos(x)?.

De limiet van sin(x)/x vind je met L'Hopital...

En de limiet van tan(x)/X. Die kun je vinden via de identiteit: tan(x) = sin(x)/cos(x).

EDIT: ik veronderstel btw dat de nullen toch typfouten zijn en een één moeten zijn hè?

mcfaker123

Drieske schreef:Ik zal je voor cos(x) eerst een intuitief argument geven. Bedenk dat dicht bij 0 de cos ook bijna 1 is (maakt het uit of je langs je heel klein negatief of heel klein positief bent voor het teken van cos(x)?). Dus gedraagt cos(x)/x zich ongeveer gelijk ??? De rest vul je zelf maar aan indien mogelijk. Merk op dat je finaal antwoord afhangt van het antwoord op de vraag: maakt het uit of je langs je heel klein negatief of heel klein positief bent voor het teken van cos(x)?.

De limiet van sin(x)/x vind je met L'Hopital...

En de limiet van tan(x)/X. Die kun je vinden via de identiteit: tan(x) = sin(x)/cos(x).

EDIT: ik veronderstel btw dat de nullen toch typfouten zijn en een één moeten zijn hè?

ja sorry, het moest 1 zijn ipv 0

Drieske

ja sorry, het moest 1 zijn ipv 0

Okee

. Maar kun je met deze tips ook zien wat de limiet is van cos(x)/x?

mcfaker123

Okee . Maar kun je met deze tips ook zien wat de limiet is van cos(x)/x?

Eigenlijk kun je cos(x)/x zien als een rationale functie. Dan als je de limiet berekent volgens de rekenregels van rationale functies kom je aan lim (cos(x)) / lim(x) = 1/0 . Nu, omdat de noemer 0 is en de teller niet gelijk aan nul is, moet je volgens de rekenregels van rationale functies gewoon het tekentabel opstellen en de oplossing eruit halen?

Drieske

Mja, maar mijn 1/x is enkel een intuitief argument hè... Dus als je het echt correct wilt, moet het, denk ik, nog anders. Maar ivm de 1/0. Dit is toch gwn oneindig? Alleen moet je wel nog 1 ding doen. En dat is kijken of de limiet naar 0 langs de negatieve kant hetz geeft als de limiet naar 0 langs de positieve kant.

Mocht je er niet uit geraken, wil ik wel eens een iets deftiger argument neerschrijven.

mcfaker123

Drieske schreef:Mja, maar mijn 1/x is enkel een intuitief argument hè... Dus als je het echt correct wilt, moet het, denk ik, nog anders. Maar ivm de 1/0. Dit is toch gwn oneindig? Alleen moet je wel nog 1 ding doen. En dat is kijken of de limiet naar 0 langs de negatieve kant hetz geeft als de limiet naar 0 langs de positieve kant.

Mocht je er niet uit geraken, wil ik wel eens een iets deftiger argument neerschrijven.

Ik denk dat als je een cos(x) / x tegenkomt in limieten je gewoon moet onthouden dat het gelijk is aan -/+

, dan is het gemakkelijker

Siron

Ik denk dat als je een cos(x) / x tegenkomt in limieten je gewoon moet onthouden dat het gelijk is aan -/+ , dan is het gemakkelijker

Je hebt de onbepaaldheid 1/0 = oneindig, nu kan x langs links naar 0 naderen of langs rechts (zoals Drieske al zei). Dat maakt een verschil, anders zou het boek 2 verschillende oplossingen niet geven.

Stel x nadert van links naar 0 dus komt uit het negatieve gebied, x zal naar 0 naderen, maar nooit 0 worden, maar héél klein negatief, zoiets als: -0,00000001 (je kan blijven doorgaan). En als x uit het positieve gebied naar 0 nadert krijg je 0,000001.

Dus wat wordt nu:

\(\lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{x}= ...\)

\(<\)

\(\lim_{x \to 0}\frac{ \cos x}{x}= ...\)

\(>\)

< betekent: x blijft steeds iets kleiner dan 0 (linkerlimiet)

> betekent: x blijft steeds iets groter dan 0 (rechterlimiet)µ

Voor de cos(x) maakt het geen verschil, immers is de linkerlimiet gelijk aan de rechterlimiet en bestaat dus de limiet.

Merk op dat de limiet van een functie enkel en alleen bestaat indien zowel de rechterlimiet als de linkerlimiet bestaan en deze bovendien aan elkaar gelijk zijn.

mcfaker123

Siron schreef:Je hebt de onbepaaldheid 1/0 = oneindig, nu kan x langs links naar 0 naderen of langs rechts (zoals Drieske al zei). Dat maakt een verschil, anders zou het boek 2 verschillende oplossingen niet geven.

Stel x nadert van links naar 0 dus komt uit het negatieve gebied, x zal naar 0 naderen, maar nooit 0 worden, maar héél klein negatief, zoiets als: -0,00000001 (je kan blijven doorgaan). En als x uit het positieve gebied naar 0 nadert krijg je 0,000001.

Dus wat wordt nu:

\(\lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{x}= ...\)

\(<\)

\(\lim_{x \to 0}\frac{ \cos x}{x}= ...\)

\(>\)
< betekent: x blijft steeds iets kleiner dan 0 (linkerlimiet)

> betekent: x blijft steeds iets groter dan 0 (rechterlimiet)µ

Voor de cos(x) maakt het geen verschil, immers is de linkerlimiet gelijk aan de rechterlimiet en bestaat dus de limiet.

Merk op dat de limiet van een functie enkel en alleen bestaat indien zowel de rechterlimiet als de linkerlimiet bestaan en deze bovendien aan elkaar gelijk zijn.

ik heb nog een vraagje:

Bijvoorbeeld de functie f(x)= 1/x² die heeft een linker en rechterlimiet voor x

0. En die zijn beiden aan elkaar gelijk: plus oneindig.

Dus bestaat de limiet voor x

0 , omdat zowel de linker als rechterlimiet bestaan en ze zijn gelijk aan elkaar, nietwaar?

kotje

Misschien reeksontwikkeling gebruiken van cos(3x)?

Siron

mcfaker123 schreef:ik heb nog een vraagje:

Bijvoorbeeld de functie f(x)= 1/x² die heeft een linker en rechterlimiet voor x 0. En die zijn beiden aan elkaar gelijk: plus oneindig.

Dus bestaat de limiet voor x 0 , omdat zowel de linker als rechterlimiet bestaan en ze zijn gelijk aan elkaar, nietwaar?

Ja, dat klopt. Immers zorgt dat kwadraat ervoor dat de noemer altijd positief is.

@Kotje:

Ik denk niet dat Mcfaker123 als reeksontwikkeling kent (of ik kan me natuurlijk ook vergissen).

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Limieten van goniometrische functies

Limieten van goniometrische functies

Re: Limieten van goniometrische functies

Re: Limieten van goniometrische functies

Re: Limieten van goniometrische functies

Re: Limieten van goniometrische functies

Re: Limieten van goniometrische functies

Re: Limieten van goniometrische functies

Re: Limieten van goniometrische functies

Re: Limieten van goniometrische functies

Re: Limieten van goniometrische functies

Re: Limieten van goniometrische functies

Re: Limieten van goniometrische functies

Re: Limieten van goniometrische functies

Re: Limieten van goniometrische functies

Re: Limieten van goniometrische functies