Limieten van goniometrische functies
Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood
- Berichten: 1.129
Limieten van goniometrische functies
Hallo, ik heb een probleem bij het oplossen van 2 limieten.
De eerste limiet klopt wel, maar als ik de 2de oplos, kom ik een incorrect resultaat uit.
Weet iemand hoe dit komt?
Hartelijk Bedankt!
De eerste limiet klopt wel, maar als ik de 2de oplos, kom ik een incorrect resultaat uit.
Weet iemand hoe dit komt?
Hartelijk Bedankt!
- Berichten: 10.179
Re: Limieten van goniometrische functies
Waarom denk je/hoe weet je dat:
\(\lim_{x \to 0}\frac{\cos(x)}{x} = 1\)
? Geef je redenering hiervoor eens... Bedenk meteen ook eens hoe je weet dat \(\lim_{x \to 0}\frac{\sin(x)}{x} = 1\)
.Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
- Berichten: 1.129
Re: Limieten van goniometrische functies
Hoe moet je die dan berekenen?
Ik dacht dat zowel lim [(sin(x))/x] = 0 als lim [(tan(x))/x] = 0 als lim [(cos(x))/x] = 0
Ik dacht dat zowel lim [(sin(x))/x] = 0 als lim [(tan(x))/x] = 0 als lim [(cos(x))/x] = 0
- Berichten: 24.578
Re: Limieten van goniometrische functies
De eerste twee wel (1 i.p.v. 0 !!); je kan de tweede aantonen door de eerste te gebruiken.mcfaker123 schreef:Hoe moet je die dan berekenen?
Ik dacht dat zowel lim [(sin(x))/x] = 0 als lim [(tan(x))/x] = 0 als lim [(cos(x))/x] = 0
Maar die derde: wat wordt de teller in 0? En de noemer? Dus dat kan niet...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
- Berichten: 1.129
Re: Limieten van goniometrische functies
hoe moet je dan lim [ cos(x)/x ] berekenen? want die staat ook bij de opgaven!
- Berichten: 10.179
Re: Limieten van goniometrische functies
Ik zal je voor cos(x) eerst een intuitief argument geven. Bedenk dat dicht bij 0 de cos ook bijna 1 is (maakt het uit of je langs je heel klein negatief of heel klein positief bent voor het teken van cos(x)?). Dus gedraagt cos(x)/x zich ongeveer gelijk ??? De rest vul je zelf maar aan indien mogelijk. Merk op dat je finaal antwoord afhangt van het antwoord op de vraag: maakt het uit of je langs je heel klein negatief of heel klein positief bent voor het teken van cos(x)?.mcfaker123 schreef:Hoe moet je die dan berekenen?
Ik dacht dat zowel lim [(sin(x))/x] = 0 als lim [(tan(x))/x] = 0 als lim [(cos(x))/x] = 0
De limiet van sin(x)/x vind je met L'Hopital...
En de limiet van tan(x)/X. Die kun je vinden via de identiteit: tan(x) = sin(x)/cos(x).
EDIT: ik veronderstel btw dat de nullen toch typfouten zijn en een één moeten zijn hè?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
- Berichten: 1.129
Re: Limieten van goniometrische functies
ja sorry, het moest 1 zijn ipv 0Drieske schreef:Ik zal je voor cos(x) eerst een intuitief argument geven. Bedenk dat dicht bij 0 de cos ook bijna 1 is (maakt het uit of je langs je heel klein negatief of heel klein positief bent voor het teken van cos(x)?). Dus gedraagt cos(x)/x zich ongeveer gelijk ??? De rest vul je zelf maar aan indien mogelijk. Merk op dat je finaal antwoord afhangt van het antwoord op de vraag: maakt het uit of je langs je heel klein negatief of heel klein positief bent voor het teken van cos(x)?.
De limiet van sin(x)/x vind je met L'Hopital...
En de limiet van tan(x)/X. Die kun je vinden via de identiteit: tan(x) = sin(x)/cos(x).
EDIT: ik veronderstel btw dat de nullen toch typfouten zijn en een één moeten zijn hè?
- Berichten: 10.179
Re: Limieten van goniometrische functies
Okee . Maar kun je met deze tips ook zien wat de limiet is van cos(x)/x?ja sorry, het moest 1 zijn ipv 0
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
- Berichten: 1.129
Re: Limieten van goniometrische functies
Okee . Maar kun je met deze tips ook zien wat de limiet is van cos(x)/x?
Eigenlijk kun je cos(x)/x zien als een rationale functie. Dan als je de limiet berekent volgens de rekenregels van rationale functies kom je aan lim (cos(x)) / lim(x) = 1/0 . Nu, omdat de noemer 0 is en de teller niet gelijk aan nul is, moet je volgens de rekenregels van rationale functies gewoon het tekentabel opstellen en de oplossing eruit halen?
- Berichten: 10.179
Re: Limieten van goniometrische functies
Mja, maar mijn 1/x is enkel een intuitief argument hè... Dus als je het echt correct wilt, moet het, denk ik, nog anders. Maar ivm de 1/0. Dit is toch gwn oneindig? Alleen moet je wel nog 1 ding doen. En dat is kijken of de limiet naar 0 langs de negatieve kant hetz geeft als de limiet naar 0 langs de positieve kant.
Mocht je er niet uit geraken, wil ik wel eens een iets deftiger argument neerschrijven.
Mocht je er niet uit geraken, wil ik wel eens een iets deftiger argument neerschrijven.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
- Berichten: 1.129
Re: Limieten van goniometrische functies
Ik denk dat als je een cos(x) / x tegenkomt in limieten je gewoon moet onthouden dat het gelijk is aan -/+ , dan is het gemakkelijkerDrieske schreef:Mja, maar mijn 1/x is enkel een intuitief argument hè... Dus als je het echt correct wilt, moet het, denk ik, nog anders. Maar ivm de 1/0. Dit is toch gwn oneindig? Alleen moet je wel nog 1 ding doen. En dat is kijken of de limiet naar 0 langs de negatieve kant hetz geeft als de limiet naar 0 langs de positieve kant.
Mocht je er niet uit geraken, wil ik wel eens een iets deftiger argument neerschrijven.
- Berichten: 1.069
Re: Limieten van goniometrische functies
Je hebt de onbepaaldheid 1/0 = oneindig, nu kan x langs links naar 0 naderen of langs rechts (zoals Drieske al zei). Dat maakt een verschil, anders zou het boek 2 verschillende oplossingen niet geven.Ik denk dat als je een cos(x) / x tegenkomt in limieten je gewoon moet onthouden dat het gelijk is aan -/+ , dan is het gemakkelijker
Stel x nadert van links naar 0 dus komt uit het negatieve gebied, x zal naar 0 naderen, maar nooit 0 worden, maar héél klein negatief, zoiets als: -0,00000001 (je kan blijven doorgaan). En als x uit het positieve gebied naar 0 nadert krijg je 0,000001.
Dus wat wordt nu:
\(\lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{x}= ...\)
\(<\)
\(\lim_{x \to 0}\frac{ \cos x}{x}= ...\)
\(>\)
< betekent: x blijft steeds iets kleiner dan 0 (linkerlimiet)> betekent: x blijft steeds iets groter dan 0 (rechterlimiet)µ
Voor de cos(x) maakt het geen verschil, immers is de linkerlimiet gelijk aan de rechterlimiet en bestaat dus de limiet.
Merk op dat de limiet van een functie enkel en alleen bestaat indien zowel de rechterlimiet als de linkerlimiet bestaan en deze bovendien aan elkaar gelijk zijn.
- Berichten: 1.129
Re: Limieten van goniometrische functies
ik heb nog een vraagje:Siron schreef:Je hebt de onbepaaldheid 1/0 = oneindig, nu kan x langs links naar 0 naderen of langs rechts (zoals Drieske al zei). Dat maakt een verschil, anders zou het boek 2 verschillende oplossingen niet geven.
Stel x nadert van links naar 0 dus komt uit het negatieve gebied, x zal naar 0 naderen, maar nooit 0 worden, maar héél klein negatief, zoiets als: -0,00000001 (je kan blijven doorgaan). En als x uit het positieve gebied naar 0 nadert krijg je 0,000001.
Dus wat wordt nu:
\(\lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{x}= ...\)\(<\)\(\lim_{x \to 0}\frac{ \cos x}{x}= ...\)\(>\)< betekent: x blijft steeds iets kleiner dan 0 (linkerlimiet)
> betekent: x blijft steeds iets groter dan 0 (rechterlimiet)µ
Voor de cos(x) maakt het geen verschil, immers is de linkerlimiet gelijk aan de rechterlimiet en bestaat dus de limiet.
Merk op dat de limiet van een functie enkel en alleen bestaat indien zowel de rechterlimiet als de linkerlimiet bestaan en deze bovendien aan elkaar gelijk zijn.
Bijvoorbeeld de functie f(x)= 1/x² die heeft een linker en rechterlimiet voor x 0. En die zijn beiden aan elkaar gelijk: plus oneindig.
Dus bestaat de limiet voor x 0 , omdat zowel de linker als rechterlimiet bestaan en ze zijn gelijk aan elkaar, nietwaar?
- Berichten: 3.330
Re: Limieten van goniometrische functies
Misschien reeksontwikkeling gebruiken van cos(3x)?
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?
- Berichten: 1.069
Re: Limieten van goniometrische functies
Ja, dat klopt. Immers zorgt dat kwadraat ervoor dat de noemer altijd positief is.mcfaker123 schreef:ik heb nog een vraagje:
Bijvoorbeeld de functie f(x)= 1/x² die heeft een linker en rechterlimiet voor x 0. En die zijn beiden aan elkaar gelijk: plus oneindig.
Dus bestaat de limiet voor x 0 , omdat zowel de linker als rechterlimiet bestaan en ze zijn gelijk aan elkaar, nietwaar?
@Kotje:
Ik denk niet dat Mcfaker123 als reeksontwikkeling kent (of ik kan me natuurlijk ook vergissen).