Hoi, ik moet onderstaand probleem oplossen maar ik kom er nog niet helemaal uit. De vraag is
Aannemende dat
\(\bar{a}<<1\)
, lineariseer onderstaande vergelijking en vind een explicite oplossing voor
\(\delta h\)
\(\frac{1}{(1+\bar{h}-\bar{a})^2}+\frac{2}{Fr}\bar{h}=1\)
met
\(\bar{h}=\frac{\delta h}{h}\)
\(\bar{a}=\frac{a}{h}\)
\(Fr=\frac{U^2_0}{gh}\)
=====================================================
Ik begon met een taylor expansie voor de eerste term:
\(\frac{1}{(1+\bar{h}-\bar{a})^2} = \frac{1}{(1+\bar{h})^2}+\frac{2}{(1+\bar{h})^3}\bar{a}\)
Dan substitueer ik dit vervolgens weer terug in de vergelijking, zodat we hebben
\(\frac{1}{(1+\bar{h})^2}+\frac{2}{(1+\bar{h})^3}\bar{a}}+\frac{2}{Fr}\bar{h}=1\)
Na een heleboel algebra is dit te schrijven als
\(\bar{h^4}+(3-\frac{Fr}{2})\bar{h^3}+(3-\frac{3}{2}Fr)\bar{h^2}+(1-Fr)\bar{h}+Fr\bar{a}=0\)
Hoe los ik deze 4e graads vergelijking nu op? Ik weet dat er allerlei ingewikkelde formules voor zijn om een dergelijke vergelijking op te lossen, maar ik kan me niet voorstellen dat dat de bedoeling van de opgave is. Deze vraag komt uit een natuurkundig probleem, dus ik vermoed misschien dat ook geldt
\(\bar{h}<<1\)
. Dan zou je hogere in
\(\bar{h}\)
kunnen verwaarlozen en hem vervolgens oplossen.
Ben ik op de goede weg (is de vergelijking gelineariseerd?) en hoe ga ik verder?