Uitwerking integraal

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer

Bericht 10-05-'11, 11:34

Tudum

Berichten: 412

Uitwerking integraal

Hallo!

Ik zit vast bij de uitwerking van een integraal...
\(X'' = - k^2 X\)
(met X een fucntie van x)
\(\frac{X''}{X} = -k^2\)
Dat wil ik dan integreren naar x, maar ik zie absoluut niet hoe dat te doen. Het eerste wat ik dacht was de X'' achter de dx te brengen, maar dan zit ik met dX', en daar ben je ook niet veel mee...

De oplossing moet trouwens zijn: X = A cos(kx) + B sin(kx).

Heeft iemand tips voor mij? ;)
Vroeger Laura.
Omhoog

Bericht 10-05-'11, 11:46

Luuk1

Berichten: 200

Re: Uitwerking integraal

Hoi Laura,

Dit kun je niet zomaar integreren.

Probeer eens als oplossing
\(X = Ce^{\lambda x}\)
. Substitueer dit en je zult imaginaire waardes voor
\(\lambda\)
vinden. Met de wet van Euler kun je dit omschrijven naar sinussen en cosinussen. Succes
Omhoog

Bericht 05-06-'11, 11:22

Tudum

Berichten: 412

Re: Uitwerking integraal

Hallo!

Ten eerste: mijn excuses, ik was vergeten dat ik nog niets gereageerd had, en door dringender werk had ik deze oefening eventjes laten liggen.

Daarna: wanneer ik de
\(X = C e^{\lambda x}\)
invul, dan krijg ik uiteindelijk
\(\lambda = i \cdot k\)
. Dit terug invullen in de voorgestelde oplossing levert me dan
\(X = C (\cos(kx) + i \sin(kx))\)
. Hoe weet ik nu dat dit gelijk is aan
\(X = A \cos(kx) + B \sin(kx)\)
?

Ik was zelf aan het denken dat A = C en B = iC, maar die voorwaarde zou dan genegeerd zijn in mijn cursus, dus dat zou ik raar vinden...

Groeten,

Tudum (ik ben veranderd van nickname)
Vroeger Laura.
Omhoog

Bericht 05-06-'11, 11:35

Burgie

Berichten: 582

Re: Uitwerking integraal

Ben je bekend met het oplossen van differentiaalvergelijkingen?
Omhoog

Bericht 05-06-'11, 11:41

Safe

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Uitwerking integraal

Het is helemaal goed. Ga dat na door tweemaal differentiëren van X (naar x).
Omhoog

Bericht 05-06-'11, 11:46

Burgie

Berichten: 582

Re: Uitwerking integraal

Het is helemaal goed.
Verwaarloos je op die manier geen oplossingen aangezien er geen rekening wordt gehouden met
\( \lambda = \pm i \cdot k \)
?
Omhoog

Bericht 05-06-'11, 12:11

Tudum

Berichten: 412

Re: Uitwerking integraal

Ben je bekend met het oplossen van differentiaalvergelijkingen?
Dat zou toch moeten ja ;)

En op je volgende reactie (die ik vergeten quoten ben): Ja, inderdaad... Dus
\(X = C (\cos(kx) \pm i \sin (kx))\)
Het is helemaal goed. Ga dat na door tweemaal differentiëren van X (naar x).
Ik snap niet zo goed wat je bedoelt, moet ik de X = C cos(kx) + iC sin(kx) twee keer afleiden? Want daaruit kan ik A en B toch niet halen?
Vroeger Laura.
Omhoog

Bericht 05-06-'11, 12:16

Burgie

Berichten: 582

Re: Uitwerking integraal

Dat zou toch moeten ja ;)


Je kunt nl. ook de algemene oplossing voor dit differentiaalvergelijking bekomen door op een zelfde manier te werk te gaan als
En op je volgende reactie (die ik vergeten quoten ben): Ja, inderdaad... Dus
\(X = C (\cos(kx) \pm i \sin (kx))\)
. Dus nu moet ik aan A en B geraken én een manier vinden om te weten dat enkel de +-vorm correct is?
Even de reactie van Safe afwachten...
Omhoog

Bericht 05-06-'11, 14:37

Safe

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Uitwerking integraal

Je hebt:
\(X=C_1e^{ikx}+C_2e^{-ikx}\)
\(X=C_1(\cos(kx)+i\sin(kx))+C_2 (\cos(-kx)+i\sin(-kx))\)
\(X=(C_1+C_2)\cos(kx)+i(C_1-C_2)\sin(kx)\)
Omhoog

Bericht 05-06-'11, 14:46

Burgie

Berichten: 582

Re: Uitwerking integraal

\(X=(C_1+C_2)\cos(kx)+i(C_1-C_2)\sin(kx)\)
En dat is helemaal goed.
Omhoog
Reageer

Terug naar “Huiswerk en Practica”