Voor een cilinder wordt de streamfunction in poolcoordinaten gegeven door
\(\psi(r,\theta)=U(r-\frac{a^2}{r})sin(\theta)\)
Nu wordt de cilinder een klein beetje vervormd, zodat\(r=a(1-\epsilon cos^2\theta)\)
Hierin is \(\epsilon\)
een kleine parameter. De bedoeling is dat ik de streamfunction van de vervormde cilinder moet vinden. Dit moet gedaan worden met een regular pertubation expansion van de vorm\(\psi(r,\theta)=\psi_0(r,\theta)+\epsilon \psi_1(r,\theta)+....\)
Vraag a) en b) waren zelf al gelukt.---------------------------------------------------------------------------------------------------------------
a) "De streamfunction moet voldoen aan de Laplace equation, wat betekent dit voor
\(\psi_0\)
en \(\psi_1\)
?"
Dit volgt vrij direct
\(\nabla^2\psi=\nabla^2(\psi_0+\epsilon\psi_1)=\nabla^2\psi_0+\epsilon\nabla^2\psi_1=0\)
b) "Wat is de boundary condition aan het oppervlak van de cilinder?"Hierop is het antwoord volgens mij dat de cilinder een streamline moet zijn. Dus de verandering van de streamfunction langs het oppervlak van de cilinder moet nul zijn, oftewel
\(\frac{\partial\psi}{\partial s}=0\)
waarbij ds een klein stukje langs het oppervlak van de cilinder is.c). "De boundary condition aan het oppervlak van de vervormde cilinder kan worden overgebracht naar de originele cilinder door een Taylor expansie van
\(\psi\)
rond \(r=a\)
te doen tot eerste orde in \(\epsilon\)
. Bepaal de bijbehorende boundary conditions voor \(\psi_0\)
en \(\psi_1\)
."Ik heb hier eerlijk gezegd geen idee hoe ik te werk moet gaan. Ik twijfel ook welke
\(\psi\)
ze willen dat ik Taylor expand, die van de normale cilinder of die voor de vervormde? Als ik de Taylor expansie uitschrijf voor de vervormde, dan krijg ik\(\psi(r,\theta)\approx\psi_0(a,\theta)+\frac{\partial\psi_0}{\partial r} (r-a) + \epsilon\psi_1(r,\theta)+ \frac{\partial\psi_1}{\partial r}(r-a)=0\)
Hoe ga ik nu verder?
