Springen naar inhoud

Diagonaliseerbare matrix?


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Fruitschaal

    Fruitschaal


  • >250 berichten
  • 524 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 25 mei 2011 - 14:36

NOG NIET AF. DOOR EEN FOUT HEB IK HET AL GEPLAATST.
Ik maak nu het bericht af.


Beste allemaal,

Ik heb vandaag een tentamen gehad en daarop kwam de volgende vraag:

Voor welke LaTeX is de matrix LaTeX

Veranderd door Fruitschaal, 25 mei 2011 - 14:37


Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Fruitschaal

    Fruitschaal


  • >250 berichten
  • 524 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 25 mei 2011 - 14:55

Aangezien ik mijn beginpost niet meer mag wijzigen, doe ik het maar zo:

Beste allemaal,

Ik heb vandaag een tentamen gehad en daarop kwam de volgende vraag:

---

Voor welke LaTeX is de matrix LaTeX diagonaliseerbaar? Als dit het geval is, bepaal een inverteerbare matrix LaTeX en een diagonaalmatrix LaTeX zodat LaTeX .


---

Om diagonaliseerbaar te zijn, moet LaTeX drie eigenvalues en drie onafhankelijke, corresponderende eigenvectors hebben. De eigenvalues heb ik gemakkelijk gevonden. Aangezien het een triangular matrix, zijn de 'entries' op de hoofddiagonaal de eigenvalues. In dit geval geldt dus:
LaTeX

Als ik de eigenvectors wil bepalen (om zo dus LaTeX te kunnen maken), kom ik jammer genoeg niet op drie onafhankelijke vectoren.

Voor de eigenvectoren moet gelden:
LaTeX

Voor LaTeX :

LaTeX
en dit reduceert tot:
LaTeX

Dus dit levert als vector op: LaTeX

En dat wordt dan een eigenvector: LaTeX



Tot nu toe gaat het goed, maar bij LaTeX gaat het mis. Ik kom namelijk op deze gereduceerde matrix:
LaTeX

Dit levert als vector op: LaTeX

En dus een eigenvector: LaTeX



Ik kan echt geen derde eigenvector verzinnen. Maar volgens Wolfram Alpha is die er wel en is deze LaTeX als ik me niet vergis. Hoe komen zij erop en wat doe ik fout?

Alvast bedankt!

Veranderd door Fruitschaal, 25 mei 2011 - 14:57


#3

Axioma91

    Axioma91


  • >250 berichten
  • 264 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 25 mei 2011 - 14:59

Een derde eigenvector bestaat wel, maar die is niet lineair onafhankelijk van de andere twee. Je kunt bijv a*E_1 nemen met a een constante. Als de algebraische multipliciteit van een eigenwaarde > 1 is, dan is die matrix niet diagonaliseerbaar. (dus voor elke a in R niet)

Veranderd door Axioma91, 25 mei 2011 - 15:00


#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 25 mei 2011 - 15:04

Een derde eigenvector bestaat wel, maar die is niet lineair onafhankelijk van de andere twee. Je kunt bijv a*E_1 nemen met a een constante. Als de algebraische multipliciteit van een eigenwaarde > 1 is, dan is die matrix niet diagonaliseerbaar. (dus voor elke a in R niet)

Nee hoor, de algebraïsche multipliciteit mag gerust groter zijn dan 1, maar dan moet de meetkundige (of geometrische) multipliciteit hetzelfde zijn.

@Fruitschaal: (1,0,0) is toch ook een oplossing van het stelsel in het tweede geval...?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

Fruitschaal

    Fruitschaal


  • >250 berichten
  • 524 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 25 mei 2011 - 15:12

Nee hoor, de algebraïsche multipliciteit mag gerust groter zijn dan 1, maar dan moet de meetkundige (of geometrische) multipliciteit hetzelfde zijn.

@Fruitschaal: (1,0,0) is toch ook een oplossing van het stelsel in het tweede geval...?

Ja, (1,0,0) blijkt dus inderdaad de tweede oplossing te zijn als de eigenvalue 2 is. Maar ik begrijp alleen niet hoe ze daar op komen.
Op de manier zoals ik het geleerd heb, kan ik er dus niet op komen.

#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 25 mei 2011 - 15:13

Hoe heb jij het dan geleerd? Je moet dat homogeen stelsel oplossen en er is maar één lineair onafhankelijke vergelijking, je hebt dus twee vrij te kiezen variabelen. Een algemene oplossing is (a,b,b), dus a(1,0,0)+b(0,1,1) waaruit de eigenvectoren (vet) volgen.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#7

Fruitschaal

    Fruitschaal


  • >250 berichten
  • 524 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 25 mei 2011 - 15:19

Ik heb geleerd dat je hiervoor: LaTeX een waarde voor LaTeX moet invullen om een eigenvector te krijgen (meestal kies je gewoon 1). Hoewel ik nu denk dat ik het fout begrepen heb.

#8

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 25 mei 2011 - 15:21

Maar hoe kom je zelf dan aan (0,1,1) als een van de eigenvectoren (al dan niet met x3 erachter als factor)? Jouw x3 is mijn b, maar ik heb dus ook nog een a; ik kies beide in feite 1 om gemakkelijk eigenvectoren af te lezen.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#9

Fruitschaal

    Fruitschaal


  • >250 berichten
  • 524 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 25 mei 2011 - 15:28

Ik kom aan die x door dit op te lossen:
LaTeX

Dan heb je dus dat:
-a*x3 = -a*x2 en x3 = x2, dus daaruit concludeerde ik dat x2 = x3.

Veranderd door Fruitschaal, 25 mei 2011 - 15:29


#10

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 25 mei 2011 - 15:33

En x1 is vrij te kiezen, want voor elke x1 is 0*x1 = 0; oplossingen zijn dus (x1,x2,x3) met inderdaad x2 = x3 zodat de algemene oplossing (x1,x3,x3) is. Vergelijk dit met mijn eerdere notatie met a en b, uit elkaar halen en de eigenvectoren zijn gewoon af te lezen.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#11

Fruitschaal

    Fruitschaal


  • >250 berichten
  • 524 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 25 mei 2011 - 15:35

En x1 is vrij te kiezen, want voor elke x1 is 0*x1 = 0; oplossingen zijn dus (x1,x2,x3) met inderdaad x2 = x3 zodat de algemene oplossing (x1,x3,x3) is. Vergelijk dit met mijn eerdere notatie met a en b, uit elkaar halen en de eigenvectoren zijn gewoon af te lezen.

Aha, ik begrijp het. Ik naam aan dat de waarde van x1 0 was.
Maar goed, dit is vrij jammer, want deze vraag was veel punten waard.

Bedankt voor het reageren!

#12

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 25 mei 2011 - 15:36

De coëfficiënt ervan is net 0, dus x1 mag eender welke waarde aannemen.

Graag gedaan!
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures