Ik maak nu het bericht af.
Beste allemaal,
Ik heb vandaag een tentamen gehad en daarop kwam de volgende vraag:
Voor welke
\(a \in \mathbb{R}\)
is de matrix \(A = \left[ \begin{array}{ccc} 2 & a & a \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{array} \right]\)
Laatste berichten
-
07:53
Rotatie van het heelal 25
-
00:49
Ervaringen met "herontdekkingen" 11
-
21:28
hall effect in vloeistof gebruiken als stromingssensor 6
-
17:59
Gezocht: de/een naam voor een getallenrij met een cauchyrij als partieelsommenrij
-
17:28
Casus uit de praktijk: positief test THC 18
-
17 apr
speciale rel. theorie 4
-
17 apr
Vreemde stank in huis 11
-
17 apr
3 vragen over mijn rooskleurige r.berekening H2netGekoppeldeHBrflowbatterij.
-
17 apr
Interpretatie reactie-energie 3
-
17 apr
Logistic equation (Pierre Verhulst,Belgian Mathematician) 5
-
16 apr
vB 9
-
15 apr
Kunnen quantum Zonnecellen 190% quantum efficiënt zijn 1
-
15 apr
Python: sockets sluiten 4
-
14 apr
Een eenvoudige logische redenering waarom tijd niet kan bestaan 'daarbuiten' 6
-
14 apr
Hoe kun je op quantumwijze getallen vinden in een rij die kleiner zijn dan getal k 3
-
13 apr
Documentenverdwijnen uit onedrive 1
-
12 apr
Behoud van impulsmoment en energie 5
-
12 apr
INLOG STORING / TIPS 4
-
09 apr
[natuurkunde] systeemgrafen 1
-
05 apr
afbuiging licht rond zware objecten via grondbeginselen relativiteitstheorie 490
Nieuwsberichten
-
04 mar
Een nieuw soort magnetisme: altermagnetisme
-
31 okt
AI kan via stem diabetes vaststellen 11
-
21 okt
Einstein krijgt wéér gelijk 45
-
07 feb
witter dan wit 20
-
19 jun
irrigatie en de aardas
Diagonaliseerbare matrix?
-
- Berichten: 524
Diagonaliseerbare matrix?
NOG NIET AF. DOOR EEN FOUT HEB IK HET AL GEPLAATST.
Ik maak nu het bericht af.
Beste allemaal,
Ik heb vandaag een tentamen gehad en daarop kwam de volgende vraag:
Voor welke
Ik maak nu het bericht af.
Beste allemaal,
Ik heb vandaag een tentamen gehad en daarop kwam de volgende vraag:
Voor welke
-
- Berichten: 524
Re: Diagonaliseerbare matrix?
Aangezien ik mijn beginpost niet meer mag wijzigen, doe ik het maar zo:
Beste allemaal,
Ik heb vandaag een tentamen gehad en daarop kwam de volgende vraag:
---
Voor welke
---
Om diagonaliseerbaar te zijn, moet
Voor de eigenvectoren moet gelden:
Alvast bedankt!
Beste allemaal,
Ik heb vandaag een tentamen gehad en daarop kwam de volgende vraag:
---
Voor welke
\(a \in \mathbb{R}\)
is de matrix \(A = \left[ \begin{array}{ccc} 2 & a & -a \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{array} \right]\)
diagonaliseerbaar? Als dit het geval is, bepaal een inverteerbare matrix \(P\)
en een diagonaalmatrix \(D\)
zodat \(A = PDP^{-1}\)
.---
Om diagonaliseerbaar te zijn, moet
\(A\)
drie eigenvalues en drie onafhankelijke, corresponderende eigenvectors hebben. De eigenvalues heb ik gemakkelijk gevonden. Aangezien het een triangular matrix, zijn de 'entries' op de hoofddiagonaal de eigenvalues. In dit geval geldt dus:\(\lambda = 2, \lambda = 1, \lambda = 2\)
Als ik de eigenvectors wil bepalen (om zo dus \(P\)
te kunnen maken), kom ik jammer genoeg niet op drie onafhankelijke vectoren.Voor de eigenvectoren moet gelden:
\((A - \lambda I) \mathbf{x} = 0\)
Voor \(\lambda = 1\)
:[/b]\(A = \left[ \begin{array}{ccc|r} 1 & a & -a & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array} \right]\)
en dit reduceert tot:\(A = \left[ \begin{array}{ccc|r} 1 & a & -a & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right]\)
Dus dit levert als vector op: \(\mathbf{x} = \left[ \begin{array}{c} -a \\ 1 \\ 0 \end{array} \right]x_3\)
En dat wordt dan een eigenvector: \(\mathbf{v}_1 = \left[ \begin{array}{c} -a \\ 1 \\ 0 \end{array} \right]\)
Tot nu toe gaat het goed, maar bij \(\lambda = 2\)
gaat het mis. Ik kom namelijk op deze gereduceerde matrix:\(A = \left[ \begin{array}{ccc|r} 0 & a & -a & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right]\)
Dit levert als vector op: \(\mathbf{x} = \left[ \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right]x_3\)
En dus een eigenvector: \(\mathbf{v}_2 = \left[ \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right]\)
Ik kan echt geen derde eigenvector verzinnen. Maar volgens Wolfram Alpha is die er wel en is deze \(\mathbf{v}_3 = \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right]\)
als ik me niet vergis. Hoe komen zij erop en wat doe ik fout?Alvast bedankt!
-
- Berichten: 264
Re: Diagonaliseerbare matrix?
Een derde eigenvector bestaat wel, maar die is niet lineair onafhankelijk van de andere twee. Je kunt bijv a*E_1 nemen met a een constante. Als de algebraische multipliciteit van een eigenwaarde > 1 is, dan is die matrix niet diagonaliseerbaar. (dus voor elke a in R niet)
-
- Berichten: 24.578
Re: Diagonaliseerbare matrix?
Nee hoor, de algebraïsche multipliciteit mag gerust groter zijn dan 1, maar dan moet de meetkundige (of geometrische) multipliciteit hetzelfde zijn.Een derde eigenvector bestaat wel, maar die is niet lineair onafhankelijk van de andere twee. Je kunt bijv a*E_1 nemen met a een constante. Als de algebraische multipliciteit van een eigenwaarde > 1 is, dan is die matrix niet diagonaliseerbaar. (dus voor elke a in R niet)
@Fruitschaal: (1,0,0) is toch ook een oplossing van het stelsel in het tweede geval...?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 524
Re: Diagonaliseerbare matrix?
Ja, (1,0,0) blijkt dus inderdaad de tweede oplossing te zijn als de eigenvalue 2 is. Maar ik begrijp alleen niet hoe ze daar op komen.TD schreef:Nee hoor, de algebraïsche multipliciteit mag gerust groter zijn dan 1, maar dan moet de meetkundige (of geometrische) multipliciteit hetzelfde zijn.
@Fruitschaal: (1,0,0) is toch ook een oplossing van het stelsel in het tweede geval...?
Op de manier zoals ik het geleerd heb, kan ik er dus niet op komen.
-
- Berichten: 24.578
Re: Diagonaliseerbare matrix?
Hoe heb jij het dan geleerd? Je moet dat homogeen stelsel oplossen en er is maar één lineair onafhankelijke vergelijking, je hebt dus twee vrij te kiezen variabelen. Een algemene oplossing is (a,b,b), dus a(1,0,0)+b(0,1,1) waaruit de eigenvectoren (vet) volgen.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 524
Re: Diagonaliseerbare matrix?
Ik heb geleerd dat je hiervoor:
\(\mathbf{x} = \left[ \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right]x_3\)
een waarde voor \(x_3\)
moet invullen om een eigenvector te krijgen (meestal kies je gewoon 1). Hoewel ik nu denk dat ik het fout begrepen heb.-
- Berichten: 24.578
Re: Diagonaliseerbare matrix?
Maar hoe kom je zelf dan aan (0,1,1) als een van de eigenvectoren (al dan niet met x3 erachter als factor)? Jouw x3 is mijn b, maar ik heb dus ook nog een a; ik kies beide in feite 1 om gemakkelijk eigenvectoren af te lezen.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 524
Re: Diagonaliseerbare matrix?
Ik kom aan die x door dit op te lossen:
Dan heb je dus dat:
-a*x3 = -a*x2 en x3 = x2, dus daaruit concludeerde ik dat x2 = x3.
\(\left[ \begin{array}{ccc|r} 0 & a & -a & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right]\)
Dan heb je dus dat:
-a*x3 = -a*x2 en x3 = x2, dus daaruit concludeerde ik dat x2 = x3.
-
- Berichten: 24.578
Re: Diagonaliseerbare matrix?
En x1 is vrij te kiezen, want voor elke x1 is 0*x1 = 0; oplossingen zijn dus (x1,x2,x3) met inderdaad x2 = x3 zodat de algemene oplossing (x1,x3,x3) is. Vergelijk dit met mijn eerdere notatie met a en b, uit elkaar halen en de eigenvectoren zijn gewoon af te lezen.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 524
Re: Diagonaliseerbare matrix?
Aha, ik begrijp het. Ik naam aan dat de waarde van x1 0 was.En x1 is vrij te kiezen, want voor elke x1 is 0*x1 = 0; oplossingen zijn dus (x1,x2,x3) met inderdaad x2 = x3 zodat de algemene oplossing (x1,x3,x3) is. Vergelijk dit met mijn eerdere notatie met a en b, uit elkaar halen en de eigenvectoren zijn gewoon af te lezen.
Maar goed, dit is vrij jammer, want deze vraag was veel punten waard.
Bedankt voor het reageren!
-
- Berichten: 24.578
Re: Diagonaliseerbare matrix?
De coëfficiënt ervan is net 0, dus x1 mag eender welke waarde aannemen.
Graag gedaan!
Graag gedaan!
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
