Springen naar inhoud

Galoistheorie


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Pelle Almqvist

    Pelle Almqvist


  • 0 - 25 berichten
  • 24 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 31 mei 2011 - 21:17

Bij het voorbereiden op een tentamen stuitte ik op een vervelend probleem, waar ik niet uit kom.
Het gaat om het bepalen van de Galoisgroep LaTeX van LaTeX over LaTeX .

Misschien zoek ik het antwoord in de verkeerde richting, maar hier is een schets van wat ik dusver heb gevonden:
Laat LaTeX , en laat LaTeX en LaTeX de ontbindingslichamen van LaTeX resp. LaTeX over LaTeX . Er geldt LaTeX .
De uitbreiding LaTeX verkrijgen we door wortels van de drie nulpunten LaTeX van LaTeX aan LaTeX te adjungeren.
De nulpunten van LaTeX zijn alledrie reŽel; twee zijn positief en ťťn (zeg LaTeX ) is negatief.
Het adjungeren van een wortel van LaTeX is dus noodzakelijk, dus LaTeX .
Maar hoe kan ik weten of geldt LaTeX of LaTeX , of juist niet?
Waarom?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 31 mei 2011 - 22:24

Bij het voorbereiden op een tentamen stuitte ik op een vervelend probleem, waar ik niet uit kom.
Het gaat om het bepalen van de Galoisgroep LaTeX

van LaTeX over LaTeX .

Misschien zoek ik het antwoord in de verkeerde richting, maar hier is een schets van wat ik dusver heb gevonden:
Laat LaTeX , en laat LaTeX en LaTeX de ontbindingslichamen van LaTeX resp. LaTeX over LaTeX . Er geldt LaTeX .
De uitbreiding LaTeX verkrijgen we door wortels van de drie nulpunten LaTeX van LaTeX aan LaTeX te adjungeren.
De nulpunten van LaTeX zijn alledrie reŽel; twee zijn positief en ťťn (zeg LaTeX ) is negatief.
Het adjungeren van een wortel van LaTeX is dus noodzakelijk, dus LaTeX .
Maar hoe kan ik weten of geldt LaTeX of LaTeX , of juist niet?

Je hebt een veelterm van graad3. Waarom bepaal je hiervan niet gewoon de nulpunten? Dan de wortel hiervan zijn opl van f. En dan kun je nagaan met wat je groep isomorf is door te kijken naar voortbrengers...
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#3

Pelle Almqvist

    Pelle Almqvist


  • 0 - 25 berichten
  • 24 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 31 mei 2011 - 23:50

Rekenen is toch wel de laatste gedachte die bij mij zou opkomen, maar ik heb het geprobeerd. Ik moet zeggen dat het bepalen van de nulpunten van LaTeX nogal een zware bevalling voor me is geweest. Het resultaat is een drietal flinke joekels van uitdrukkingen, die nog net te overzien zijn, en ik denk dat LaTeX , met LaTeX een primitieve 18e eenheidswortel. De wortels van LaTeX worden voor mij echt te onprettig. Is er een handige manier om met deze dingen te werken? Of moet ik daadwerkelijk naar een zestal uitdrukking zoals
LaTeX
gaan kijken om te zien wat hun voortbrengers zijn? Dit kan (hoop ik) niet de bedoeling zijn, aangezien we slechts drie uur de tijd hebben voor een stuk of 10 tot 15 opgaven waaronder een aantal zoals deze.
Waarom?

#4

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 01 juni 2011 - 00:15

Ik had idd niet verwacht dat de wortels zo ingewikkeld gingen worden... Ik zou dan zo redeneren: je weet da uw galoisgroep 6 el heeft. De 3 wortels van de opl van g. Uit uw isomorfisme van K weet je 2 hiervan voortbrenger zijn. En dus heeft uw galoisgroep 4 voortbrengers. Echter 2 hiervan zijn op minteken gelijk. Dus 2

Ken je zo een groep?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#5

Pelle Almqvist

    Pelle Almqvist


  • 0 - 25 berichten
  • 24 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 01 juni 2011 - 00:45

je weet da uw galoisgroep 6 el heeft.


De Galoisgroep van LaTeX over LaTeX heeft zes elementen, en dit is een ondergroep van LaTeX , dus deze groep heeft ten minste zes elementen. Ik heb ook verhelderd dat LaTeX , waaruit volgt dat LaTeX ten minste twaalf elementen bevat. De Galoisgroep werkt op de zes nulpunten, de orde van deze groep is een deler van LaTeX en is deelbaar door zes. In mijn oorspronkelijke post heb ik beredeneerd dat deze orde gelijk aan 12, 24 of 48 is.

En dus heeft uw galoisgroep 4 voortbrengers. Echter 2 hiervan zijn op minteken gelijk. Dus 2


Inderdaad, LaTeX wordt voortgebracht door twee elementen. Ik zie echter niet hoe hier uit volgt dat LaTeX door twee (of vier) elementen wordt voortgebracht.

Veranderd door Pelle Almqvist, 01 juni 2011 - 00:51

Waarom?

#6

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 01 juni 2011 - 09:50

Okee, ik had gisteravond beter niet meer geantwoord, wegens een hoog "weinig-nuttig" gehalte ;). Excuses daarvoor :P.

Ik heb er nu wat beter over gedacht en heb een paar opmerkingen.

Allereerst: waarom is, volgens jou, LaTeX . Volgens mij klopt dit niet en moet dit zijn LaTeX (of hiermee equivalent LaTeX ). Ik ben benieuwd naar je redenering, maar hou mijn nog even voor mij om jou niet te beinvloeden :P.

Verder ben ik zo te werk gegaan (fel analoog, maar ik geef mijn heel idee). Stel LaTeX . Dan is de Galoisgroep van LaTeX gegeven door LaTeX . Noem de wortel van deze vt LaTeX . Dan zijn de wortels van f gegeven door
LaTeX .
Merk verder nog op dat LaTeX reŽel zijn, som 0 en product -1 hebben. Dus kunnen we stellen dat LaTeX en LaTeX . Bijgevolg zijn LaTeX geen ontbindingsvelden van f, maar LaTeX wťl. Zo een ontbindingsveld is uniek, dus het is het ontbindingsveld... Kun je nu zelf de uitbreidingsgraad aanvullen? Liefst niet kijken voor je zelf geprobeerd hebt:
Verborgen inhoud

24
. Eens je dit hebt, ben je er... Ik kan je nog beschrijven hoe die Galoisgroep eruit ziet, maar daar wacht ik mee tot je dit snapt.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#7

Pelle Almqvist

    Pelle Almqvist


  • 0 - 25 berichten
  • 24 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 01 juni 2011 - 12:40

Je hebt gelijk, er geldt inderdaad LaTeX . Ik dacht oorspronkelijk LaTeX omdat ik een rekenfout had gemaakt bij het bepalen van de discriminant >.>
Ik begrijp het merendeel van je redenering, en dat LaTeX en LaTeX geen ontbindingslichamen kunnen zijn, en dat LaTeX wel een ontbindingslichaam is. Dit ontbindingslichaam LaTeX is op isomorfie na uniek.

Het bepalen van de graad hiervan lukt me zo gauw niet, maar ik ben nu te gehaast; ik vertrek zometeen naar het buitenland, maar ik zal er nog over nadenken. Na het weekend laat ik weten of het is gelukt of niet. Dank voor de hulp, vanaf hier zou ik het toch moeten kunnen.
Waarom?

#8

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 01 juni 2011 - 12:57

Graag gedaan ;). Goed dat je er nu grotendeels uitbent :P. Je laat maar weten of het nog gelukt is... Om deze graad te bepalen maak je btw best ketens van uitbreidingen.

Btw nog ťťn kleine opmerking: in deze opgave was het nu idd lastig(er) om te tellen dan te redeneren door de aard van de nulpunten. Echter is het vaak (zeker bij veeltermen die na substitutie gewoon kwadratisch zijn) handig om toch die nulpunten exact te kennen. Dan zie je meteen wat voor groep je Galoisgroep is :P.

Veranderd door Drieske, 01 juni 2011 - 13:02

Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#9

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 08 juni 2011 - 13:25

En is de opgave je verder nog gelukt ;)?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#10

Pelle Almqvist

    Pelle Almqvist


  • 0 - 25 berichten
  • 24 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 12 juni 2011 - 02:41

Yes, gelukt. Tentamen ruimschoots gehaald, ik heb eigenlijk nu pas het idee dat ik Galoistheorie begin te begrijpen.
Verheug me nu al op elliptische krommen en algebraÔsche meetkunde :P Nogmaals bedankt ;)

Veranderd door Pelle Almqvist, 12 juni 2011 - 02:42

Waarom?

#11

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 12 juni 2011 - 09:18

Mooi ;). Persoonlijk vind ik Galoistheorie ťťn van de mooiste theorieŽn die ik (momenteel) ken :P. En dat wil wel wat zeggen, daar ik meer een analyticus ben :P. Succes nog! (En graag gedaan en proficiat!)

De discussie over Lie-groepen is verplaatst naar dit topic.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures