Het gaat om het bepalen van de Galoisgroep
\(G=\text{Gal}(\mathbb{Q}(f)/\mathbb{Q})\)
van \(f=X^6-3X^2+1\)
over \(\mathbb{Q}}\)
. Misschien zoek ik het antwoord in de verkeerde richting, maar hier is een schets van wat ik dusver heb gevonden:
Laat
\(g=X^3-3X+1\)
, en laat \(K\)
en \(L\)
de ontbindingslichamen van \(g\)
resp. \(f\)
over \(\mathbb{Q}\)
. Er geldt \(\text{Gal}(K/\mathbb{Q})\cong S_3\)
. De uitbreiding
\(K\subset L\)
verkrijgen we door wortels van de drie nulpunten \(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)
van \(g\)
aan \(K\)
te adjungeren. De nulpunten van
\(g\)
zijn alledrie reëel; twee zijn positief en één (zeg \(\alpha_1\)
) is negatief. Het adjungeren van een wortel van
\(\alpha_1\)
is dus noodzakelijk, dus \(\mathbb{Q}\subset K(\sqrt{\alpha_1})\subset L\)
.Maar hoe kan ik weten of geldt
\(K(\sqrt{\alpha_2})\subset K(\sqrt{\alpha_1})\)
of \(K(\sqrt{\alpha_3})\subset K(\sqrt{\alpha_1})\)
, of juist niet?
. Excuses daarvoor 
.