Complete set

Moderators: dirkwb, Xilvo

Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
Reageer

Bericht 02-06-'11, 11:36

Bleuken

Berichten: 248

Complete set

Kan iemand mij uitleggen wat "een complete set orthonormale eigenfuncties" is?

Desnoos a.d.h.v. een voorbeeld ;)

Alvast bedankt

Mvg
Omhoog

Bericht 02-06-'11, 11:48

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Complete set

Kan iemand mij uitleggen wat "een complete set orthonormale eigenfuncties" is?
Hoe ik dit geleerd heb, is het volgende: een orthonormale set van eigenfuncties is compleet als iedere kwadratisch integreerbare functie f(x) en voor iedere ε > 0 er een eindige deelverz van eigenfuncties bestaat zodat
\(||f(x) - \sum_{i=0}^{N} f_i (x) || < \epsilon\)


Hier is "||.||" de L²-norm:
\(||g(x) - h(x) || = \sqrt{\int_{S} |f(x) - g(x)|^2 dx}\)
met S je "ruimte"...
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 02-06-'11, 19:23

physicalattraction

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 4.094

Re: Complete set

De term eigenfuncties impliceert eigenlijk dat het moeilijker lijkt dan dat het is. Ik zou het met eigenvectoren uitleggen en dan zeggen dat in jouw geval de vectoren functies zijn.

Ik neem aan dat je weet wat orthonormaal betekent? Zo niet, dan moet je dit even melden.

Ik neem aan dat je weet wat eigenvectoren zijn? Zo niet, dan moet je dit even melden.

Compleet lijkt me de moeilijkste definitie. Stel, je hebt een verzameling vectoren:
\(A = \{a_1,...,a_n\}\)
. Deze verzameling
\(A\)
is compleet dan en slechts dan als ELKE vector in je ruimte
\(V\)
geschreven kan worden als een lineaire combinatie van je verzameling vectoren in
\(A\)
, of in wiskundige notatie:
\(\forall v \in V \exists \{c_1,...,c_n\} \in \mathbb{C}: v = \sum_i c_i \cdot a_i\)
.

Voorbeeld: laat
\(V = \mathbb{R}^3\)
, en laat
\(a_1 = (1,0,0)\)
en
\(a_2 = (0,1,0)\)
. Deze verzameling van twee vectoren is NIET compleet, want er is een vector
\(v = (0,0,1)\)
die niet geschreven kan worden als een lineaire combinatie van
\(a_1\)
en
\(a_2\)
. Wanneer je deze vector ook mee zou nemen in je oorspronkelijke verzameling vectoren, dan zou hij wel compleet zijn, want elke vector in
\(\mathbb{R}^3\)
kan geschreven worden als
\(c_1 \cdot a_1 + c_2 \cdot a_2 + c_3 \cdot v\)
.
Omhoog

Bericht 04-06-'11, 10:49

Bleuken

Berichten: 248

Re: Complete set

Nog een klein bijvraagje,

Stel bijvoorbeeld [j²,jz] = 0

Dus deze commuteren, hebben deze dan een complete set gemeenschappelijk?

ALvast bedankt voor de uitgebreide antwoorden
Omhoog

Bericht 04-06-'11, 11:13

sirius

Berichten: 336

Re: Complete set

Uit [j²,jz] = 0 kun je concluderen dat iedere eigenvector van jz ook een eigenvector van j² is.

Ik meen mij te herinneren dat voor een lineaire operator over het lichaam van de complexe getallen (zoals j² en jz), de verzameling van eigenvectoren altijd compleet is.

Ik heb net een beetje gegoogled en kan het bewijs voor deze stelling niet zo makkelijk online vinden, maar waarschijnlijk dat hoofdstuk 3 van Griffiths, "Introduction to quantum mechanics" hier wel iets over zegt.

Misschien dat iemand anders het bewijs weet te vinden?
Duct tape is like the force: it has a dark side, a light side and it holds the universe together.
Omhoog
Reageer

Terug naar “Wiskunde”