Springen naar inhoud

Integratiemethodes - partieel integreren


  • Log in om te kunnen reageren

#1

VincentW.

    VincentW.


  • >25 berichten
  • 69 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 02 juni 2011 - 22:30

Ik moet dus de volgende integraal oplossen, ik werk nu met oefeningen die ( in principe ) wat moeilijker zouden moeten zijn dan we normaal maken en dit in een gemengde reeks. Nu kwam ik in dit geval een andere uitkomst uit dan verwacht en kan niet zomaar verklaren wat ik fout gedaan heb. Een beetje hulp hierbij zou handig zijn. Alle belangrijke stappen heb ik uitgetypt.

Heb alle gangbare integratiemethode mee (buiten goniometrische subst.), maar in dit geval leek me het gebruik van partieel integreren juist.

(Boek is Van Basis tot Limiet 6 Leerboek Analyse: Integraalrekening 6/8)

Opgave :
LaTeX

Eigen uitwerking:
LaTeX
LaTeX
LaTeX
LaTeX
LaTeX
LaTeX
LaTeX

Uitkomst volgens boek:
LaTeX

Buiten die Ln (tan (etc)) zit ik dus eigenlijk juist ? Maar ik heb geen flauw idee waar die tangens en die pi/4 en x/2 vandaan komen ....

Dank bij voorbaat.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 02 juni 2011 - 22:42

Je fout: LaTeX
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#3

VincentW.

    VincentW.


  • >25 berichten
  • 69 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 02 juni 2011 - 23:10

Ja, dat kan niet inderdaad. Nu zie ik misschien de mogelijkheid om een (bij ons zgn. "t-formule" te gebruiken) ?

LaTeX waarbij LaTeX



Nu hebben wij deze formule eigenlijk nooit gebruikt bij ons in de les, maar ze lijkt voor mij wel toepasbaar op deze oefening, klopt dat ? Maar zou het gebruik van een andere methode ook nog kunnen dan ?

#4

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 02 juni 2011 - 23:16

Ik zou teller en noemer vermenigvuldigen met cos(x).

Vergeet bij je t-substitutie ook niet dt te berekenen (als je ze toepast, ik heb dit niet nagekeken of het gaat).
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#5

VincentW.

    VincentW.


  • >25 berichten
  • 69 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 02 juni 2011 - 23:36

Dat met cos vermenigvuldigen lijkt mij ook makkelijker dan eigenlijk.


LaTeX
LaTeX
LaTeX
LaTeX
LaTeX
LaTeX

Hoop dat dit al juist is, de aandacht is er ook niet meer de volle 100% bij, het is een zware dag geweest. Hoe k nu van die laatste stap naar de uitkomst in het boek geraak is me nog een raadsel wel...

#6

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 02 juni 2011 - 23:48

Ziet er juist uit.
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#7

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 03 juni 2011 - 00:14

LaTeX
LaTeX
LaTeX
LaTeX
LaTeX

Ik ben nog aan het kijken of het hetzelfde is en indien niet waar de fout zit. Dit is in ieder geval juist.
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#8

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 03 juni 2011 - 00:22

Welterusten, ik ga er nu niet meer verder op zoeken.
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#9

point

    point


  • >100 berichten
  • 160 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 03 juni 2011 - 04:41

De methode die 'In fysics I trust' aangaf, die van sec(x)*dx is correct.

Als je het wil oplossen door het te splitsen in partieelbreuken, is je antwoord ook geldig.

Ik ben alleen maat niet zeker of je daar een rekenfoutje gemaakt hebt of niet, ik kom namelijk LaTeX uit, maar aangezien het in absolute waarde staat, maakt het geen verschil voor de uitkomst.



Wil je toch de antwoord van het boek, die volgens mij ook correct is, zo goed mogelijk benaderen, dan zou je inderdaad best de t-formules gebruiken.

Als je weet dat
LaTeX

Stel nu LaTeX .

1) Bereken hieruit x in functie van t
2) En leid het af zodanig dat je dx bekomt.
3) Vervang nu cos(x) en dx in je integraal en splits het in partieelbreuken.


Je zal dan weer een 'andere uitkomst' verkrijgen.
Daarbij moet je nog weten dat LaTeX

Bewijs hiervan ?
LaTeX
Als je dit uitwerkt met behulp van de regel van Simpson, dan bekom je de nodige formule die ik er net boven vermeld heb.

Kies nu A = pi/4 en B = x/2 (zoals in je antwoordenboek staat) en vul dit in in onze formule.
Je zult merken dat dit onze nieuwe antwoord tegemoet komt ! ;)

Hopelijk kom je hiermee wel uit, en anders horen we het wel.
Success !

Veranderd door In fysics I trust, 03 juni 2011 - 06:25

Heb je een passieve computer ?
Dan kan je WSF helpen met het vouwen van eiwitten en zo de ziekten als kanker en dergelijke te bestrijden:

http://www.wetenscha...showtopic=59270

#10

VincentW.

    VincentW.


  • >25 berichten
  • 69 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 03 juni 2011 - 10:18

Ja, heb me wel kunnen redden, de t-formules hebben wij eigenlijk nog nooit gebruikt dus ik vermoed wel dat een uitkomst tot en met de stap die ik gegeven heb waarschijnlijk wel genoeg zal zijn. Maar goed om te zien dat ik juist zit.

Heb nu nog eens die laatste neperiaanse logaritme bekeken;
De formule die ik gebruik:
LaTeX

Startend vanaf: (Deze stap is zeker nog juist ?)
LaTeX
Dan moet je eigenlijk toch (in principe) de sinus positief maken om hem in de bovenstaande formule te kunnen gieten, niet ?

LaTeX
Dus dan heb ik in bovenstaande stap het teken verandert van de noemer en als gevolg het teken van de integraal in zijn geheel negatief gemaakt. Of klopt dit wiskundig niet ?

LaTeX
In de formule gegoten geeft dit toch gewoon de bovenstaande ?
want x - a = sin(x) -1
en x + a =sin (x) +1
niet ?

Nu zit er bij point zijn uitwerking dus we het grote verschil dat enkele tekens (en niet alle tekens) anders zijn, is dat nu te wijten aan een foute uitwerking van mij, of door een verschillende manier van uitwerken en is het normaal omdat uiteindelijk toch dezelfde uitkomst bekomen wordt aangezien het binnen absolute waarde staat ?

#11

Siron

    Siron


  • >1k berichten
  • 1069 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 03 juni 2011 - 11:02

Een andere methode om deze integraal zonder t-formules te berekenen:
LaTeX

Stel LaTeX dan is LaTeX
Dus ingevuld:
LaTeX

Nu is LaTeX
Dus wordt de integraal:
LaTeX

Dit zou je kunnen gebruiken als je de t-formules lastiger vindt.

Veranderd door Siron, 03 juni 2011 - 11:04


#12

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 03 juni 2011 - 11:28

Dat wilde ik ook nog even voorstellen, maar:

Heb alle gangbare integratiemethode mee (buiten goniometrische subst.),



@Vincent: goniometrische substituties worden typisch gebruikt voor uitdrukkingen als a+x, a-x, x-a onder een wortel.
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures