Integratiemethodes

VincentW.

Hier ben ik weer hoor

Heb hier een integraal waar ik nu echt niet mee weggeraak, misschien is het iets simpels en zie ik het over het hoofd, maar

Opgave:

\(\int \frac {1}{x^6 + 1} dx\)

Uitkomst volgens boek:

\(\frac {1}{3} . \arctan (x) + \frac {\sqrt{3}}{12} . \ln | \frac {x^2 + \sqrt{3}x + 1}{x^2 - \sqrt{3}x + 1}| + \frac {1}{6} . \arctan (2x-\sqrt{3}) + \frac {1}{6} . \arctan (2x+\sqrt{3}) + C\)

Heb geen flauw idee hoe ik dit moet aanpakken. Of zie ik nu gewoon iets over het hoofd ? Heb zo'n vermoeden dat het iets zal worden mbv partieelbreuken maar ik zou dan nog steeds niet weten hoe ik eraan moet beginnen...

Boek is Van Basis Tot Limiet 6 Leerboek Analyse 4 Integraalrekening 6/8

Een beetje hulp in de eerste stappen zou geweldig zijn.

Dank bij voorbaat.

Siron

Het enige wat in mij opkomt is toepassing van:

\(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\)

Met toepassing van dat merkwaardig product:

\(\int \frac{dx}{(x^2)^3+1^3}=\int \frac{dx}{(x^2+1)(x^4-x^2+1)}\)

Nu proberen te splitsen in partieelbreuken en verder ontbinden.

Ik kan niet met zekerheid zeggen of dit zal leiden tot de uitkomst.

In physics I trust

De methode die Siron voorstelt is de juiste, en leidt effectief tot een oplossing.

VincentW.

Siron schreef:Het enige wat in mij opkomt is toepassing van:

\(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\)
Met toepassing van dat merkwaardig product:

\(\int \frac{dx}{(x^2)^3+1^3}=\int \frac{dx}{(x^2+1)(x^4-x^2+1)}\)
Nu proberen te splitsen in partieelbreuken en verder ontbinden.

Ik kan niet met zekerheid zeggen of dit zal leiden tot de uitkomst.

\(\int \frac{dx}{(x^2+1)(x^4-x^2+1)}\)

Uitwerking in Partieelbreuken:

\( \frac {1}{(x^2+1)(x^4-x^2+1)}\)

\(= \frac{Ax + B}{x^2+1} + \frac{Cx + D}{x^4-x^2+1}\)

\( (Ax + B)(x^4-x^2+1) + (Cx + D)(x^2+1) = 0\)

Maar nu kom je toch voor alles 0 uit, niet ?

Safe

\( \frac{A}{x^2+1} + \frac{Bx^2 + C}{x^4-x^2+1}\)

Waarom?

En wat is de teller van de oorspronkelijke breuk?

VincentW.

Ja die is 1 en niet 0 natuurlijk, dat was dom van me.

Nu die partieelbreuk die je daar hebt geschreven, Safe, snap ik niet zo goed.

Was even aan het twijfelen of bij het eerste deel A moest staan, maar keek even in mijn nota's en zag daar toch echt ook een oefening met x^2 + 1 als noemer (van één deel), en daar stond dan weer Ax + B in de teller :s. En bij het tweede deel: is het daar Bx^2 + C ipv Bx + C omdat er daar een 4e en 2e macht in de noemer staan ?

Safe

VincentW. schreef:Ja die is 1 en niet 0 natuurlijk, dat was dom van me.

Nu die partieelbreuk die je daar hebt geschreven, Safe, snap ik niet zo goed.

Was even aan het twijfelen of bij het eerste deel A moest staan, maar keek even in mijn nota's en zag daar toch echt ook een oefening met x^2 + 1 als noemer (van één deel), en daar stond dan weer Ax + B in de teller :s. En bij het tweede deel: is het daar Bx^2 + C ipv Bx + C omdat er daar een 4e en 2e macht in de noemer staan ?

Inderdaad, als je met x werkt krijg je termen met x en x³ en die zijn er niet. Je hebt te maken met even machten.

VincentW.

\( \frac {1}{(x^2+1)(x^4-x^2+1)}\)

\( \frac{A}{x^2+1} + \frac{Bx^2 + C}{x^4-x^2+1}\)

\( (A)(x^4-x^2+1) + (Bx^2+C)(x^2+1) = 1\)

\((x^0): A + C = 1 \Rightarrow C = 1 - A\)

\((x^4): A + B = 0 \Rightarrow B = -A\)

\((x^2): -A + B + C = 0 \Rightarrow -A - A + 1 - A =0 \Rightarrow -3A = -1\)

\( A = \frac {1}{3} ; B = \frac {-1}{3} ; C = \frac {2}{3}\)

\(\frac{1}{3(x^2+1)} + \frac{\frac{-x^2}{3} + \frac{2}{3}}{x^4-x^2+1}\)

\( = \frac{1}{3(x^2+1)} + \frac {-(x^2 -2)}{3(x^4-x^2+1)}\)

\( = \frac {\arctan(x)}{3} - \frac {1}{3} \int \frac{x^2 - 2}{x^4-x^2+1} dx\)

Nu zie ik wel niet echt hoe het hierna verder gaat ...

Safe

De noemer is weer ontbindbaar.

Probeer de noemer te schrijven als een verschil van twee kwadraten. Denk aan a²-b².

VincentW.

Ben ik nu heel fout bezig of kan ik die noemer alleen maar schrijven als de som van 2 kwadraten ?

\( \frac {\arctan(x)}{3} - \frac {1}{3} \int \frac{x^2 - 2}{x^4-x^2+1} dx\)

\( \frac {\arctan(x)}{3} - \frac {1}{3} \int \frac{x^2 -2}{(x^2 - 1/2)^2 + 3/4}\)

of zoiets kan ik ook doen, maar hoe weer verder?

\( \frac {\arctan(x)}{3} - \frac {1}{3} \int \frac{x^2 -2}{(x^4 - x^2)+ 1}\)

\( \frac {\arctan(x)}{3} - \frac {1}{3} \int \frac{x^2 -2}{(x^2(x-1)(x+1)) + 1}\)

Drieske

Ik heb niet heel de integraal verder proberen te rekenen, dus ik weet ook niet 100% zeker of dit beter is, maar:

\(x^4 - x^2 + 1 = (x^2+1)^2 - 3 x^2 \)

.

En hier kun je weer wel mee verder...

VincentW.

Bedankt voor de hulp ^^

Dus verder:

\( \frac {\arctan(x)}{3} - \frac {1}{3} \int \frac{x^2 -2}{(x^2+1)^2 - 3 x^2)}\)

\( = \frac {\arctan(x)}{3} - \frac {1}{3} \int \frac{x^2}{(x^2+1)^2 - 3 x^2)}dx + \frac {2}{3} \int \frac {dx}{(x^2+1)^2 - 3 x^2)}\)

\( = \frac {\arctan(x)}{3} - \frac {1}{3} \int \frac{x^2}{(x^2+1)^2 - 3 x^2)}dx + \frac {1}{3 \sqrt{3}} \ln | \frac {x^2 +1 -\sqrt{3}x}{x^2 +1 +\sqrt{3}x}| + C\)

Maar dan zit ik weer met die andere integraal waar ik zo niet meteen zie wat ik zou moeten doen. :s En trouwens: de factor voor de Ln is anders, bij mij is die

\( \frac {\sqrt{3}}{9}\)

en als oplossing staat er 12 in de noemer, toch nog ergens iets gemist ?

Ik heb toch veel last met deze oefening, het is ook nogal anders dan dat we in de lessen gedaan hebben en ik vind de manier van oplossen precies heel "geforceerd", maar dit kan ook liggen aan het feit dat ik met deze oefeningen niet veel ervaring heb.

Safe

VincentW. schreef:Bedankt voor de hulp ^^

Dus verder:

\( \frac {\arctan(x)}{3} - \frac {1}{3} \int \frac{x^2 -2}{(x^2+1)^2 - 3 x^2}dx\)

Ja, Drieske heeft je wel geholpen, maar ik had 't ook over ontbinden in factoren a²-b²=... en dan weer breuksplitsen. Wat dat betreft is het een leerzame integraal, je moet nl volhouden.

Drieske

Je kunt (x²+1)² - 3x² schrijven als

\(((x^2 + 1) - \sqrt{3}x)((x^2+1)+\sqrt{3}x)\)

...

Voor die factor moet ik het eens beter nakijken voor ik daarover iets kan zeggen

.

EDIT: Safe was me dus net voor

.

Safe

@Drieske, je zegt voor ...

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Integratiemethodes

Integratiemethodes

Re: Integratiemethodes

Re: Integratiemethodes

Re: Integratiemethodes

Re: Integratiemethodes

Re: Integratiemethodes

Re: Integratiemethodes

Re: Integratiemethodes

Re: Integratiemethodes

Re: Integratiemethodes

Re: Integratiemethodes

Re: Integratiemethodes

Re: Integratiemethodes

Re: Integratiemethodes

Re: Integratiemethodes