Euler-Bernoulli balk differentiaalvergelijking

DePurpereWolf

Stel ik heb de volgende vergelijking:

a[.]u''''(x) - b[.]u''(x) = c

Waarin a, b en c constanten zijn. u''''(x) is de 4de differentiaal van u, een functie van x.

Als ik c aan nul stel, kan ik dan stellen:

a[.]u''''(x) = b[.]u''(x)

a[.]u''(x) = b

Of ben ik nu in wiskundige overtreding???

TD

Je bent in overtreding ja, die (hogere orde) afgeleide zijn geen exponenten en kan je dus niet 'wegdelen' of iets dergelijks.

Op dezelfde manier zou moeten gelden dat: f''(x) = f'(x) <=> f'(x) = f(x), hetgeen niet het geval is (constanten kunnen namelijk steeds verwdwijnen bij het differentiëren).

Zo zul je in het algemeen bij een 4e-orde DV ook 4 (integratie)constanten krijgen, terwijl je met jouw methode overgaat op een 2e orde DV (met dus nog slechts 2 constanten in de oplossing), zo ging er informatie 'verloren'.

DePurpereWolf

Juistem, had ik ook kunnen weten.

Enig idee wat de algemene oplossing is voor zulks een vergelijking?

(referentie)

Bart

probeer eens iets met u(x) = exp(g x) + c x² / 2

TD

DePurpereWolf schreef:Juistem, had ik ook kunnen weten.

Enig idee wat de algemene oplossing is voor zulks een vergelijking?

(referentie)

Met c = 0 of in het algemeen?

DePurpereWolf

In het algemeen is in principe ook met c is 0, maar op dit moment ben ik meer geinteresseerd in de algemene.

Het is een diff vergelijking van een plank, de u''(x) is de stress in de plank. a is flexular regidity (E[.]I), c is een druk uitgeoefent op de plank. Als c = 0 maar b = een zekere waarde, dan zou eigelijk de plank door zijn eigen stress buigen. Ik denk (weet) echter dat dit een instabiel nulpunt is, immers, de plank kan zowel naar boven als naar beneden buigen.

Ik moet echt wat meer onderzoek gaan doen naar diff vergelijkingen.

TD

Als het je enigszins vooruit helpt, oplossing worden gegeven door:

Afbeelding

Brinx

Yup, het puntje hierbij is dat de constanten, die iedere keer dat je de afgeleide neemt wegvallen, wel degelijk een aandeel hebben in de oplossing. Die balkvergelijking komt me nog vagelijk bekend voor, ik heb wat vakjes gehad die het uitvoerig behandelden. Hoekverdraaiing, verzakking, krachtenlijn en momentenlijn, geplaatst van 3e (of 4e?)-orde afgeleide naar originele functie, was het niet? Lang geen sterkteleer gehad.

[edit]: hm, verdeelde belasting moet daar misschien nog ergens tussen staan...

DePurpereWolf

euhm, TD, Wat is s en x, en zijn a, b en c dezelfde constanten?

TD

Het is de oplossing van je eerste opgave a*u''''(x) - b*u''(x) = c

Dat zijn dus die a,b,c. De grote C's (het zijn er 4) zijn de integratieconstanten.

s komt er niet in voor, maar dat is wss wat wazig en hoort een x te zijn (zoals in de tellers van de e-machten).

rodeo.be

TD schreef:Als het je enigszins vooruit helpt, oplossing worden gegeven door:

Wil je weten hoe eraan te komen (niet zo moeilijk feitelijk); een algoritme wordt hier beschreven: lineaire DV met constante coëfficiënten

DePurpereWolf

Om hier maar even op door te draaien, het is dus een differentiaal vergelijking zonder uitkomt, of wel, er is een onstabiele uitkomst.

Als je bijvoorbeeld a = 1 en b = 1 en c = 0 neemt en de volgende randvoorwaarden:

u(0)=u'(0)=u(1)=u'(1)=0 (voor een balk dat aan beide zijdes vast zit)

Krijg je de volgende oplossing voor de constanten:

C1 = -e^-2C2 - C3/e

C2 = -C1 -C3

C3 = -C1*e - e^-1C2 - C4

C4 = -C1 - C2

En hier is geen uitkomst voor.

Zoals ik al zei hoort dit ook omdat het een onstabiel middelpunt is, de balk weet niet of het naar boven of naar beneden zal buigen.

Ik ben echter benieuwd naar beide extremen. Ik wil dus weten wat de verbuiging in beide kanten zou kunnen zijn. In principe wil ik dus twee grafieken hebben, voor beide keuzes. Heeft iemand hier ervaring mee? Of weet iemand hoe ik deze twee keuzes kan onderzoeken? Zou fijn zijn.

DePurpereWolf

Allee, laatste post van mij klopte gewoon niet. Omdat ik wil dat dingen kloppen, en omdat ik latex wil leren, en omdat ik mijn thesis toch aan het schrijven ben zal ik het hier herstellen.

Het gaat dus om de elasticiteit te bestuderen van een balk die aan beide kant vast wordt geklampt. De spring constant is makkelijk te verkrijgen als er geen stress in de balk is. Deze stress is niet de stress die aan wordt gebracht door een kracht, maar een intrinsieke stress die er in is gekropen via het maken van deze balk. Een soort van interne stress.

Differentiaal vergelijking van een balk:

\( A\frac{d^4 z(x)}{dx^4} - B\frac{d^2 z(x)}{dx^2} = -C\)

Waarbij de A term de flexibiliteit van de balk is, B de tension, en C een kracht per positie op de balk

Omdat het hier een balk betreft die aan beide kanten vast zit is de generale oplossing voor de differentiaal vergelijk niet in e machten, maar in sinusoide functies.

Dus, de algemene oplossing voor C is 0. Is als volgt:

\(z(x) = a_0 + a_1 \cdot x + a_2 \cdot \cos \left( \sqrt{\frac{B}{A}} \right) + a_3 \cdot \sin\left( \sqrt{\frac{B}{A}}\right)\)

En als je van deze vergelijking de tweede en de vierde afgeleide neemt deze in de eerste vergelijking stopt je mooi op 0 uitkomt.

Maar nu voor de particuliere vergelijking is een antwoord moeilijker te vinden op het net. De methode om z(x) zo te veranderen dat we niet op 0 maar op c uitkomen is gebaseerd op de gok methode. Of in het engels, de method of undetermined coefficients. Als p een constante is is het erg makkelijk te zien dat als we z(x) met

\(c \cdot x^2\)

bewerken we op het juiste antwoord komen.

De oplossing is dus:

\(z(x) = -\frac{Cx^2}{2B} + a_0 + a_1 \cdot x + a_2 \cdot \cos \left( \sqrt{\frac{B}{A}} \right) + a_3 \cdot \sin\left( \sqrt{\frac{B}{A}}\right)\)

Dus, ik was fout TD was goed, en ik heb weer wat

\(LaTeX\)

geleerd.

EvilBro

DePurpereWolf schreef:Dus, de algemene oplossing voor C is 0. Is als volgt:

\(z(x) = a_0 + a_1 \cdot x + a_2 \cdot \cos \left( \sqrt{\frac{B}{A}} \right) + a_3 \cdot \sin\left( \sqrt{\frac{B}{A}}\right)\)
En als je van deze vergelijking de tweede en de vierde afgeleide neemt deze in de eerste vergelijking stopt je mooi op 0 uitkomt.

Ten eerste denk ik dat je x-en kwijt bent bij de sinus en cosinus. Ten tweede beweer ik dat als je die er wel bij hebt je algemene oplossing niet klopt..

Ik zou het zo doen (ik geef geen garanties over de correctheid):

\( A\frac{d^4 z(x)}{dx^4} - B\frac{d^2 z(x)}{dx^2} = 0 \)

hulpfunctie introduceren:

\(g(x) = \frac{d^2 z(x)}{dx^2}\)

dan:

\( A\frac{d^4 z(x)}{dx^4} - B\frac{d^2 z(x)}{dx^2} = A\frac{d^2 g(x)}{dx^2} - B g(x)= -C\)

Hieruit volgt voor de homogene oplossing:

\(g_{h}(x) = K_0 e^{\sqrt{\frac{B}{A}} x} + K_1 e^{-\sqrt{\frac{B}{A}} x}\)

De particuliere oplossing:

\(g_{p}(x) = \frac{C}{B}\)

Voor g geldt dus:

\(g(x) = K_0 e^{\sqrt{\frac{B}{A}} x} + K_1 e^{-\sqrt{\frac{B}{A}} x} + \frac{C}{B}\)

g integreren:

\(G(x) = K_0 \sqrt{\frac{A}{B}} e^{\sqrt{\frac{B}{A}} x} - K_1 \sqrt{\frac{A}{B}} e^{-\sqrt{\frac{B}{A}} x} + \frac{C}{B} x + K_2\)

G integreren:

\(z(x) = K_0 \frac{A}{B} e^{\sqrt{\frac{B}{A}} x} + K_1 \frac{A}{B} e^{-\sqrt{\frac{B}{A}} x} + \frac{C}{2B} x^2 + K_2 x + K_3\)

Dit is volgens mij de z die je zoekt (en dit is ook wat TD als antwoord heeft).

DePurpereWolf

Ik wil hier weer even op terug komen, omdat ik weer een vraag heb. Maar dat is voor later.

het gaat dus over een plank, met of zonder intrinsieke stress, en met of zonder externe kracht.

De differentiaal vergelijking voor een plank is als volgt:

\( \rho A \fraction {d^2z(t)} {dt^2} - T \frac{d^2z(x)}{dx^2} + EI \frac{d^4z(x)}{dx^4} = -P\)

En word ook wel de Euler-Bernoulli balk vergelijking genoemt. (volgens mij)

Met rho is dichtheid, A is doorsnee oppervlak van de plank, z is de neerwaartse deflectie van de plank als functie van x, x is de as die parallel met de plank is. T is tension in de plank (intrinsiek) E is elasticiteit, I is het mechanisch moment en P is de kracht per eenheid lengte.

De vergelijking is te zien als traagheidsmoment - intrinsieke spanning + elasticiteit = externe kracht.

Ik wil het alleen over equilibrium hebben, en zonder externe kracht, dus:

\( EI \frac{d^4z(x)}{dx^4} = T \frac{d^2z(x)}{dx^2}\)

Ofwel een differentiaal vergelijking in de vorm van:

\( \frac{d^4z(x)}{dx^4} - K^2 \frac{d^2z(x)}{dx^2}=0\)

Hierboven ben ik steeds uitgegaan van een plank waarbij het uiteinde vast zit en geen rotatie mogelijk is, of alleen vast. De randvoorwaarde voor vast en geen rotatie aan beide uiteinden zijn:

\(z(0) = 0\)

\(z(1) = 0\)

\(z'(0) = 0\)

\(z'(1) = 0\)

De homogene oplossing voor de differentiaal vergelijking is:

\(z(x) = C_0 + C_1x + C_2 K^2 e^{K x} + C_3 K^2 e^{-K x} \)

Wat dus in lijn is met wat Evilbro zegt, even zonder externe kracht danwel.

Mijn antwoord (met cos en sin)

\(z(x) = C_0 + C_1x + C_2 cos(K x) + C_3 sin(-K x) \)

is uit vele referenties gehaald, maar is eigenlijk het antwoord op:

\( \frac{d^4z(x)}{dx^4} = -K^2 \frac{d^2z(x)}{dx^2}\)

Ik weet dus niet waar die min vandaan komt.

Bij een compressieve kracht, wil de plank krimpen en is de spanning negatief, epsilon = rek (of strain) is dan negatief. Als de plank tussen twee punten vast is gemaakt, zal het recht blijven.

Echter, bij een tensile kracht wil de plank groeien en is de spanning positief, epsilon is positief. Nu is het antwoord met sin en cosinus wel correct. De balk kan door buigen, in de vorm van een halve sinus, een hele sinus, 1/2 sinus, 2 sinussen, enz. enz. T is in mijn boek omschreven als

\(\epsilon A E\)

En

\(\epsilon \)

is positief onder tensile force.

Ikbegrijp niet waarom de volgende term:

\(-T\frac{d^2z(x)}{dx^2}\)

negatief is in de balk vergelijking

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Euler-Bernoulli balk differentiaalvergelijking

Euler-Bernoulli balk differentiaalvergelijking

Re: Euler-Bernoulli balk differentiaalvergelijking

Re: Euler-Bernoulli balk differentiaalvergelijking

Re: Euler-Bernoulli balk differentiaalvergelijking

Re: Euler-Bernoulli balk differentiaalvergelijking

Re: Euler-Bernoulli balk differentiaalvergelijking

Re: Euler-Bernoulli balk differentiaalvergelijking

Re: Euler-Bernoulli balk differentiaalvergelijking

Re: Euler-Bernoulli balk differentiaalvergelijking

Re: Euler-Bernoulli balk differentiaalvergelijking

Re: Euler-Bernoulli balk differentiaalvergelijking

Re: Euler-Bernoulli balk differentiaalvergelijking

Re: Euler-Bernoulli balk differentiaalvergelijking

Re: Euler-Bernoulli balk differentiaalvergelijking

Re: Euler-Bernoulli balk differentiaalvergelijking