Differentiaalvergelijking

Moderators: dirkwb, Xilvo

Reageer
Berichten: 84

Differentiaalvergelijking

ik ben laatst de volgende differentiaalvergelijking tegengekomen en ik heb van alles geprobeerd om het op te lossen, maar het lukt me niet echt: y'=g-Cy^2

hierbij is g de gravitatieconstante(9,81ms^-2) en C is een of andere constante.

een beetje hulp zou ik wel kunnen gebruiken.

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Differentiaalvergelijking

Moet je gewoon de oplossing weten (van Maple ;) ) of een manier om ze op te lossen? Wel nog vrij pittig eigelijk, hoewel simpel op het eerste zicht :P .
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Berichten: 84

Re: Differentiaalvergelijking

ik wil echt de manier weten van het oplossen. ik heb namelijk zelf dingen geprobeerd waarvan ik niet zeker weet of dat allemaal wel mag. ik ga het niet allemaal hier typen want dat was erg veel schrijven...

Berichten: 7.068

Re: Differentiaalvergelijking

ik ben laatst de volgende differentiaalvergelijking tegengekomen en ik heb van alles geprobeerd om het op te lossen, maar het lukt me niet echt: y'=g-Cy^2
\(\frac{dy}{dt} + C \cdot y^2 = g\)
Homogene oplossing:
\(\frac{dy}{dt} + C \cdot y^2 = 0\)
\(\frac{dy}{dt} = -C \cdot y^2\)
\(\frac{-1}{y^2} \cdot \frac{dy}{dt} = C\)
\(\frac{d}{dt}(\frac{1}{y}) = C\)
\(\frac{1}{y} = C \cdot t + k\)
\(y = \frac{1}{C \cdot t + k}\)
Particuliere oplossing:
\(y = \sqrt{\frac{g}{C}}\)
en klaar... of begrijp ik het probleem niet?

Edit: dit laatste is het geval. ;) De particuliere oplossing werkt niet.

Berichten: 84

Re: Differentiaalvergelijking

hoezo stel jij g gelijk aan 0 terwijl het gelijk is aan 9,81?

Berichten: 7.068

Re: Differentiaalvergelijking

hoezo stel jij g gelijk aan 0 terwijl het gelijk is aan 9,81?
Ik stel g niet gelijk aan 0. Ik bereken een homogene oplossing. Dat is de oplossing voor y zodat de differentiaalvergelijking gelijk is aan nul. Deze kan je dan bij een particuliere oplossing optellen om een algemene oplossing te krijgen. Het probleem is dat dat hier niet werkt vanwege het kwadraat (en dat was waar ik eerst overheen gekeken had).

Gebruikersavatar
Berichten: 2.097

Re: Differentiaalvergelijking

Wolfram alpha vertelt dat het een vorm van de Riccati vergelijking is. In de link staat een oplossingsmethode.
"Why must you speak when you have nothing to say?" -Hornblower

Conserve energy: Commute with a Hamiltonian

Berichten: 84

Re: Differentiaalvergelijking

als het waar is wat je zegt dan weet ik wel iets.

dy/dt+Cy^2=0

dy/dt=-Cy^2

dt/dy=-1/Cy^2

dt= -dy/Cy^2

integreren geeft:

t=(1/3Cy)+B

y=1/(-3CB+3Ct)

wat is dan de volgende stap?

Berichten: 7.068

Re: Differentiaalvergelijking

Andere 'laten we eens iets proberen'-poging:
\(\frac{dy}{dt} + C \cdot y^2 = g\)
\(\frac{dy}{dt} = g - C \cdot y^2\)
\(\frac{1}{g - C \cdot y^2} \frac{dy}{dt} = 1\)
\(\int \frac{1}{g - C \cdot y^2} dy = t + k\)
Ik denk dat je dan drie interessante gevallen hebt: C = 0, C < 0 en C > 0. C = 0 is simpel (en doe ik dan ook niet ;) ).

C < 0 -> C = -K, K > 0:
\(\int \frac{1}{g \cdot (1 - \frac{C}{g} \cdot y^2)} dy = t + k\)
\(\int \frac{1}{g \cdot (1 + \frac{K}{g} \cdot y^2)} dy = t + k\)
\(\int \frac{1}{g \cdot (1 + (\sqrt{\frac{K}{g}} \cdot y)^2)} dy = t + k\)
\(\frac{1}{g} \cdot \frac{g}{K}} \cdot \int \frac{1}{1 + (\sqrt{\frac{K}{g}} \cdot y)^2} d(\frac{K}{g}} \cdot y) = t + k\)
\(\frac{1}{g \cdot K}} \cdot \int \frac{1}{1 + (\sqrt{\frac{K}{g}} \cdot y)^2} d(\frac{K}{g}} \cdot y) = t + k\)
\(\frac{1}{g \cdot K}} \cdot \arctan(\sqrt{\frac{K}{g}} \cdot y) = t + k\)
C > 0:
\(\int \frac{1}{g \cdot (1 - \frac{C}{g} \cdot y^2)} dy = t + k\)
\(\int \frac{1}{g \cdot (1 - \sqrt{\frac{C}{g}} \cdot y) \cdot (1 + \sqrt{\frac{C}{g}} \cdot y)} dy = t + k\)
\(\frac{1}{g} \cdot \sqrt{\frac{g}{C}} \cdot \int \frac{1}{1 - \sqrt{\frac{C}{g}} \cdot y} + \frac{1}{1 + \sqrt{\frac{C}{g}} \cdot y} d(\sqrt{\frac{C}{g}} \cdot y) = t + k\)
\(\sqrt{\frac{1}{C \cdot g}} \cdot (-\ln |1 - \sqrt{\frac{C}{g}} \cdot y| + \ln |1 + \sqrt{\frac{C}{g}} \cdot y| = t + k\)
Dus het lijkt erop dat je in twee van de drie gevallen je nog wel een mooie oplossing krijgt met deze methode. De derde (C>0) is wat lastiger. Rekenfouten voorbehouden...

Berichten: 84

Re: Differentiaalvergelijking

C is mijn geval een natuurkundige constante, dus voor mij is de laatste interessant.

Waarom haal je opeens wortel(g/C) uit de integraal en hoezo kan je d(wortel(C/g)*y)) gebruiken?

Kun je me uitleggen waarom je dat doet?

Voor de rest is het een erg duidelijke manier.

Berichten: 7.068

Re: Differentiaalvergelijking

C is mijn geval een natuurkundige constante, dus voor mij is de laatste interessant.
Natuurkundige constanten kunnen volgens mij ook best negatief zijn.
Waarom haal je opeens wortel(g/C) uit de integraal en hoezo kan je d(wortel(C/g)*y)) gebruiken?
\(dy = \sqrt{\frac{g}{C}} \cdot \sqrt{\frac{C}{g}} dy = \sqrt{\frac{g}{C}} d(\sqrt{\frac{C}{g}} \cdot y)\)
De reden om dit te doen is om de integraal simpeler te maken. Pas bijvoorbeeld eens substitutie toe om dit in te zien.

Berichten: 84

Re: Differentiaalvergelijking

kun je me dan ook uitleggen hoe je opeens die grote breuk op hebt gesplitst in twee breuken? ik zie niet in waarom je dat zou mogen doen.

Berichten: 7.068

Re: Differentiaalvergelijking

\(\frac{1}{a+b} + \frac{1}{a-b} = \frac{a-b}{(a+b)(a-b)} + \frac{a+b}{(a+b)(a-b)} = \frac{2 a}{(a+b)(a-b)}\)
Valt mij nu wel op dat ik dus ben vergeten te delen door 2 bij mijn eerdere antwoord. Dat wordt dus:
\(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{C \cdot g}} \cdot \left(-\ln \left|1 - \sqrt{\frac{C}{g}} \cdot y\right| + \ln \left|1 + \sqrt{\frac{C}{g}} \cdot y\right|\right) = t + k\)

Gebruikersavatar
Berichten: 997

Re: Differentiaalvergelijking

Herschrijf de differentiaalvergelijking als
\(\text{d} x = \frac{ \text{d} y}{g-Cy^2 }\)
Na integratie bekom je
\(x+I= \frac{1}{ \sqrt{gC} } \arctan \left( \sqrt{ \frac{C}{g} } y \right) \Leftrightarrow y \left( x \right) = \sqrt{ \frac{g}{C} } \tan \left( \sqrt{gC} \left( x+I \right) \right)\)
met
\(I\)
een willekeurige integratieveranderlijke te bepalen uit bijvoorbeeld een beginvoorwaarde.

Berichten: 336

Re: Differentiaalvergelijking

Ik hoop dat ik nog wat inzicht kan toevoegen aan deze discussie.

Ten eerste betreft het hier een niet lineaire differentiaal vergelijking, kortom als y(t) een oplossing is, is 2*y(t) dat in het algemeen niet. Dit is de reden waarom het oplossen van de homogene vergelijking niet werkt.

Verder heeft deze vergelijking twee evenwichtspunten. Als we dy/dt gelijk stellen aan nul vinden we
\( y = \pm \sqrt{ \frac{C}{g} }\)
. Dit zijn oplossingen van de differentiaal vergelijking, ook al zijn ze heel triviaal.

Evilbro lijkt het probleem correct opgelost te hebben op het nemen van de inverse na. Voor het geval C>0 vinden we hiervoor na wat rekenwerk:
\(y=\sqrt{\frac{g}{c}} \frac{1-\exp [t+k]}{1+\exp [t+k]}\)
dit laatste is in feite geween een tanh. Voor
\(t \rightarrow \pm \infty\)
zien we dat deze oplossing asymptotisch naar de twee evenwichtspunten toegaat.

Hiermee is voor C>0 de waarde y beperkt in het gebied tussen de twee evenwichtspunten. Hierbuiten zijn ook nog oplossingen, die mag iemand anders zoeken. Ik ben even iets anders doen.

Succes!
Duct tape is like the force: it has a dark side, a light side and it holds the universe together.

Reageer