\(\textstyle \forall n \in \mathbb{N} : \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^2} \leq 2 - \frac{1}{n}\)
Basis:\(\textstyle \sum_{k=1}^{1} \frac{1}{k^2} = \frac{1}{1^2} = 1 \leq 1 = 2 - \frac{1}{1}\)
Stap:\(\textstyle \sum_{k=1}^{i} \frac{1}{k^2} \leq 2 - \frac{1}{i}\)
\(\textstyle \sum_{k=1}^{i+1} \frac{1}{k^2} \leq 2 - \frac{1}{i+1}\)
\(\textstyle \sum_{k=1}^{i} \frac{1}{k^2} + \frac{1}{\left(i+1\right)^2} \leq 2 - \frac{1}{i+1}\)
\(\textstyle \sum_{k=1}^{i} \frac{1}{k^2} \leq 2 - \frac{1}{i+1} - \frac{1}{\left(i+1\right)^2}\)
En nu weet ik eigenlijk niet wat ik moet doen... Ik kan nog iets met de (i+1)^2 doen en uitwerken... maar wat brengt mij dat?
