Springen naar inhoud

Component vector volgens eigenwaarde


  • Log in om te kunnen reageren

#1

christopheb

    christopheb


  • >25 berichten
  • 84 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 08 juni 2011 - 23:31

Hoi,

In mijn cursus numerieke wiskunde behandelt men het zoeken naar dominante eigenwaardes. Hierbij stelt men: voor een vlugge convergentie is het belangrijk dat de component van de startvector volgens de eigenvector zo groot mogelijk is.

Nu is mijn vraag: Stel bijv Matrix:

LaTeX

Eigenvector of eigenvalue -2:

LaTeX
Eigenvector of eigenvalue 2:

LaTeX
Eigenvector of eigenvalue 3:

LaTeX

Als ik dan deze startvector krijg:
LaTeX

Hoe weet ik dan volgens welke eigenvector de component het grootst is?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 08 juni 2011 - 23:44

Wat zijn je componenten? Maw schrijf een lineaire combinatie van je eigenvectoren.

Edit: ik had misgeteld. In ABS zijn ze gelijk (wat je wsl wist). Hoe ik het mij herinner is dat je dan mag kiezen.

Veranderd door Drieske, 08 juni 2011 - 23:47

Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#3

christopheb

    christopheb


  • >25 berichten
  • 84 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 08 juni 2011 - 23:54

Ik ben niet helemaal mee met het begrip component, en wat de lineaire combinatie van eigenvectoren hierbij komt doen?

Mijn idee was, als ik twee eigenvectoren heb:

LaTeX

en

LaTeX

Als ik dan een startvector krijg:

LaTeX

Dat de component (de eerste component, X1 ofzo?) dan het grootste is, waardoor de component volgens eigenvector 1 het grootste is.

#4

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 09 juni 2011 - 00:01

Weet je waarom dat een snelle convergentie bevordert?


Een component is een projectie op een richting. Dus meestal spreek je over componenten volgens je basisvectoren (in 3D: de x-component, y-component,...).

Als er nu wordt gezegd de component volgens de eigenvector, dan moet je je vector waarvan je de component zo groot mogelijk wil volgens een eigenvector, projecteren op die eigenvector.

Om een x-component (dus de projectie op die eerste basisvector) te bepalen, vermenigvuldig je scalair met de eerste basisbector (1,0,0). Om de component volgens de eigenvector te bekomen, vermenigvuldig je scalair met de eigenvector.

Je bovenstaande post is dus correct, met als reden, de redenering die ik net aanhaal.
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#5

christopheb

    christopheb


  • >25 berichten
  • 84 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 09 juni 2011 - 00:16

Als ik het goed begrijp, wanneer er bijvoorbeeld 2 eigenvectoren zijn, volstaat het om de startvector te projecteren (via het scalair product) op beide eigenvectoren, en te kijken welk scalair product het grootste is.

Weet je waarom dat een snelle convergentie bevordert?


Niet echt, het wordt ook niet verder toegelicht in de cursus.

Het enige wat men vertelt is dat, als de component het grootst is in de richting van een eigenvector, horende bij een niet dominante eigenwaarde, dat het mogelijk is dat de methode van de machten eerst zal evolueren naar de niet-dominante eigenvector, en daarna pas naar de dominante.

#6

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 09 juni 2011 - 00:26

Je kan aantonen dat je dominante eigenwaarden kan vinden omdat LaTeX Y met Y de startvector (willekeurig!) de richting aanneemt van de eigenvector behorend bij de dominante eigenwaarde.


Meer daarover vind je bijvoorbeeld in deze cursus vanaf pagina 65. Ook je andere opmerkingen staan daar vermeld.

https://docs.google....h...n.pdf&pli=1

De snelle convergentie verklaar je zo: als de component al grotendeels volgens de eigenvector ligt die hoort bij je dominante eigenwaarde, zijn er nog minder iteraties nodig om dicht genoeg bij een aanvaardbare benadering van die dominante eigenwaarde te komen. (We laten m in de limiet naar oneindig gaan om een zo perfect mogelijke benadering te verkrijgen).


Is dat een beetje duidelijk nu?
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#7

christopheb

    christopheb


  • >25 berichten
  • 84 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 09 juni 2011 - 00:51

Dat is inderdaad al veel duidelijker. Ik ga morgen nog eens in detail het deeltje in die cursus doornemen.

Bedankt voor de toelichting!

#8

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 09 juni 2011 - 01:07

Graag gedaan. Als er nog iets is, horen we het wel ;)
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures