Hoi,
Een van de veelgestelde vragen op het examen gaat als volgt:
Beschouw de substitutieformule x(k + 1) = exp(ax(k)) met a reëel. Voor welke waarden van a zijn er één/geen/meerdere vaste punten? Als er een vast punt is, wanneer convergeert de methode dan? Naar welk punt? Voor welke startwaarden?
Als ik deze vraag wil oplossen probeer ik steeds x = exp(ax(k)) te stellen en het verder uit te werken. Echter loop ik dan steeds hopeloos vast in de uitwerking hiervan. Is dit uberhaupt wel de juiste manier om aan deze vraag te beginnen? In het boek wordt een voorbeeld gegeven met een functie waarbij dit wel te berekenen is.
Laatste berichten
-
20:50
[scheikunde] vraag Chemie - wat is de oplossing? 9
-
20:38
Straatklok loopt 5 minuten voor 7
-
19:47
Bruine vlekken op treinaanwijzerbord 10
-
19:44
Vogels in de stad zijn goede klussers 2
-
19:12
Rood laserlicht 3
-
19:07
wig 1
-
17:30
Herleiden afmetingen vanaf een foto 21
-
16:34
[wiskunde] Prijs Product per KG; Alternatief Inzicht 3
-
13:57
do-re-mi-fa-so vliegtuigen 9
-
13:16
geen minkowski-ruimte toch? Doe ik dit nou fout? 17
-
13:12
[natuurkunde] kroon van koning op Syracuse 10
-
12:01
Gravity and gravitation 1
-
10:15
2013 – Augustus Vraag 3 3
-
24 apr
Vraag 2009 Juli Vraag 5 5
-
24 apr
positie 2
-
24 apr
Schroefdraad berekening 8
-
24 apr
[scheikunde] Kan chloorgas de geleiding van elektriciteit belemmeren? 9
-
23 apr
Weerfrustratie 9
-
23 apr
Kunnen quantum Zonnecellen 190% quantum efficiënt zijn 3
-
23 apr
De Euro Nederlandse 100 qubit computer komt eraan
Nieuwsberichten
-
04 mar
Een nieuw soort magnetisme: altermagnetisme
-
31 okt
AI kan via stem diabetes vaststellen 11
-
21 okt
Einstein krijgt wéér gelijk 45
-
07 feb
witter dan wit 20
-
19 jun
irrigatie en de aardas
Vast punt berekening
-
- Berichten: 10.179
Re: Vast punt berekening
Heb je al gehoord van de contractiestelling van Banach (soms ook wel de vastepuntstelling van Banach)?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
-
- Berichten: 84
Re: Vast punt berekening
Hmm, deze stelling wordt niet behandeld in het boek.
Echter wordt er wel gesproken over de Existentiestelling: Zij F(x) een continue functie die een eindig interval I op zichzelf afbeeldt, dan heeft F(x) een vast punt in I.
Maar dan weet je in feite nog niets, want hoe kan je zien op welk interval F(x) een eindig interval op zichzelf afbeeldt?
Echter wordt er wel gesproken over de Existentiestelling: Zij F(x) een continue functie die een eindig interval I op zichzelf afbeeldt, dan heeft F(x) een vast punt in I.
Maar dan weet je in feite nog niets, want hoe kan je zien op welk interval F(x) een eindig interval op zichzelf afbeeldt?
-
- Berichten: 10.179
Re: Vast punt berekening
En is dit de enige stelling die je hebt ivm een vast punt zoeken?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
-
- Berichten: 84
Re: Vast punt berekening
Er zijn nog meer stellingen, maar die baseren zich allemaal op het feit dat F(x) een contractie zou zijn in interval I. Bijgevolg raak ik helemaal niet aan het berekenen van de vaste punten zelf.
-
- Berichten: 10.179
Re: Vast punt berekening
Ja, maar die stellingen zijn volgens mij wel het nuttigst 
. Ik vroeg uiteindelijk ook achter een contractiestelling. Dus ik zou berekenen voor welke a's je een contractie hebt...
. Ik vroeg uiteindelijk ook achter een contractiestelling. Dus ik zou berekenen voor welke a's je een contractie hebt...Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
-
- Berichten: 84
Re: Vast punt berekening
Stel dat ik het met de vastepuntsstelling van banach zou willen oplossen, dan moet ik kijken of ik een interval vind waarvoor alle x,y element in dat interval geldt dat:
d(f(x) - f(y)) <= d(x,y).
Stel dat ik dat nu wil oplossen voor bovenstaande vergelijking F(x) = exp(ax). Hoe weet ik dan in welk interval dit geldt?
d(f(x) - f(y)) <= d(x,y).
Stel dat ik dat nu wil oplossen voor bovenstaande vergelijking F(x) = exp(ax). Hoe weet ik dan in welk interval dit geldt?
-
- Berichten: 10.179
Re: Vast punt berekening
Hmm, door een redeneerfout leek het eerst simpel om de contractie te vinden... Maar bij nader inzien is het dat toch niet zo . Wel is al zeker dat a = 1 niet werkt... Maar daar stopt het voorlopig. (Oja, a=0 werkt zeker, maar is mss wat lame 
)
PS: voor a = -1 is het ook geen contractie. Schiet dus nog over wat er gebeurt tussen -1 en 1 en daarbuiten .
PPS: ik bedenk net iets: de contractiestelling werkt maar in één richting... Dus op zich helpt dit werk niets . Sorry!
. Wel is al zeker dat a = 1 niet werkt... Maar daar stopt het voorlopig. (Oja, a=0 werkt zeker, maar is mss wat lame )PS: voor a = -1 is het ook geen contractie. Schiet dus nog over wat er gebeurt tussen -1 en 1 en daarbuiten
.PPS: ik bedenk net iets: de contractiestelling werkt maar in één richting... Dus op zich helpt dit werk niets
. Sorry!Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
-
- Berichten: 84
Re: Vast punt berekening
Ok, en hoe bereken je dat juist? Gewoon willekeurige waarden invullen, zoals die a=1 en -1? Of is er een specifieke reden dat je die waardes probeert?
-
- Berichten: 10.179
Re: Vast punt berekening
Ja, momenteel is het meer wat geprobeer dan met structuur... Ik zou beter wat structuur zoeken in de opgave, maar helaas zie ik die niet...
Ook bedenk ik net dat het stom is om een contractie te willen zoeken op heel R. Op een deelinterval volstaat. Dan heb je op dat deelinterval een vast punt.
En sorry voor het wat rommelig gedoe...
Ook bedenk ik net dat het stom is om een contractie te willen zoeken op heel R. Op een deelinterval volstaat. Dan heb je op dat deelinterval een vast punt.
En sorry voor het wat rommelig gedoe...
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
-
- Berichten: 10.179
Re: Vast punt berekening
Ik denk dat ik er uit ben... Allereerst merken we op dat exp(.) nooit negatief wordt (in het reële vlak). Dus moeten we een snijpunt met de eerste bissectrice zeker zoeken in het positieve reële vlak (x>= 0). Daar voor alle a >= 1 exp(ax) sterker stijgt dan de eerste bissectrice, kunnen er alvast geen vaste punten zijn voor a >= 1 (want exp(0) = 1). Nu moeten we nog kijken naar a<1.
Je kunt allereerst vrij makkelijk nagaan dat voor a<0 er geldt dat:
voor alle x in [0, 1]: exp(ax) in [0, 1].
Dus op [0, 1] hebben we een vast punt. En wegens het strikt dalend zijn van de functie hebben we er ook hoogstens 1. Dus exact 1.
Nu nog wat er gebeurt voor a tussen 0 en 1... Kun je evt inspiratie halen uit mijn verhaal hier?
PS: wat hier staat, is een "overtuiging". Sommige zaken moeten uiteraard nog hard gemaakt worden...
Je kunt allereerst vrij makkelijk nagaan dat voor a<0 er geldt dat:
voor alle x in [0, 1]: exp(ax) in [0, 1].
Dus op [0, 1] hebben we een vast punt. En wegens het strikt dalend zijn van de functie hebben we er ook hoogstens 1. Dus exact 1.
Nu nog wat er gebeurt voor a tussen 0 en 1... Kun je evt inspiratie halen uit mijn verhaal hier?
PS: wat hier staat, is een "overtuiging". Sommige zaken moeten uiteraard nog hard gemaakt worden...
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
-
- Berichten: 10.179
Re: Vast punt berekening
Heb je je vraag nog kunnen oplossen met deze "hints"?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
