Springen naar inhoud

Inwendige van een verzameling


  • Log in om te kunnen reageren

#1

*_gast_Sibylle Driezen_*

  • Gast

Geplaatst op 10 juni 2011 - 13:46

Hey iedereen,

Ik heb een vraagje over Topologie:
in mijn cursus, en op alle sites, staat er dat het inwendige van een eindige verzameling de lege verzameling is.
Er staat echter nergens uitgelegd waarom, en ik heb er zelf geen idee van.
Ik weet dat wanneer je het inwendige van een verzameling neemt, je er punten uit "weggooit", de randpunten dacht ik namelijk; maar dat je echt alle punten weggooit? Hoe komt dat?

Het heeft waarschijnlijk iets te maken met dat de verzameling eindig is, maar ik vroeg me af of iemand van jullie daar iets meer over wist.

Alvast bedankt,
Sibylle

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 10 juni 2011 - 13:58

Een eindige verzameling kun je schrijven als een (eindige) unie van verschillende getallen. Dus (noem je verzameling V):
er bestaat een n (natuurlijk getal) zodat LaTeX .
Dus de vraag herleidt zich tot: wat is het inwendige van een punt (singleton)? En dit is?


PS: ken je het begrip aftelbaar? Wat is dan het inwendige van een aftelbare verzameling?

Veranderd door Drieske, 10 juni 2011 - 14:01

Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#3

*_gast_Sibylle Driezen_*

  • Gast

Geplaatst op 10 juni 2011 - 14:39

Aha wacht, moet ik het mij zo voorstellen dat in een eindige verzameling de punten een bepaalde afstand van elkaar hebben, zodat ik nooit een bol rond een punt van die verzameling kan vinden die volledig in de eindige verzameling ligt? Omdat er nog "lege plekken" tussen de punten zijn die niet tot de eindige verzameling behoren, maar wel tot de bol?

#4

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 10 juni 2011 - 14:45

Aha wacht, moet ik het mij zo voorstellen dat in een eindige verzameling de punten een bepaalde afstand van elkaar hebben,

Wat is jouw definitie van een eindige verzameling? Een eindige verzameling betekent (in mijn ogen) dat het aantal elementen in je verzameling eindig is. Bijv {1, 2, 3, ..., 100} is een eindige verzameling. En de natuurlijke getallen een oneindige. Een ander vb is {1, 1.1, 1.2, ..., 1.9, 2}. Dit is ook een eindige verzameling. In het algemeen bevat je eindige verzameling dus n elementen a_1, ..., a_n en dan geldt er dat:
LaTeX .
Dus een beetje komt het idd neer op wat je zegt. Er is tussen je punten een zekere afstand die ze scheidt van elkaar... Maar zie je in dat je je verzameling kunt schrijven als een eindige unie van punten? Zie je dan in dat het voldoende is om het inwendige van een singleton te vinden?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#5

*_gast_Sibylle Driezen_*

  • Gast

Geplaatst op 10 juni 2011 - 14:56

Euhm ja ik denk het wel, als je het inwendige neemt dan zoek je alle inwendige punten, dus dan komt het er op neer om het inwendige van elk punt apart te bekijken?
Of zit ik nog steeds op het foute spoor?
Want ik begrijp dan wel niet hoe je het onderscheid maakt met het inwendige van de N (natuurlijke getallen),
of is die ook gewoon leeg omdat ze aftelbaar is?

#6

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 10 juni 2011 - 15:01

Want ik begrijp dan wel niet hoe je het onderscheid maakt met het inwendige van de N (natuurlijke getallen),
of is die ook gewoon leeg omdat ze aftelbaar is?

Die is idd ook leeg. In se is er geen verschil (voor het inwendige) tussen een eindige of een aftelbare (oneindige) verzameling...

Maar nu is de hamvraag: je voelt nu aan dat het inwendige van een singleton leeg is. Maar kun je dit gevoel ook hard maken? Want een gevoel is het belangrijkste stuk in je zoektocht, maar dan moet je dat gevoel nog hardmaken :P. Tenzij je dit mag "aannemen" uiteraard als een soort van black box.

PS: snap je nu waarom ik een eindige verzameling mag schrijven als LaTeX ? Voor de duidelijkheid is deze notatie van mij wel net iets te "lui" eigenlijk. Eigenlijk moet ik overal "{.}" rondzetten ;) dus: LaTeX . Maar daar lag wsl niet de moeilijkheid (als die er was).

Veranderd door Drieske, 10 juni 2011 - 15:04

Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#7

*_gast_Sibylle Driezen_*

  • Gast

Geplaatst op 10 juni 2011 - 15:29

Hehe ja de notatie snap ik gelukkig nog ;)
En het gevoel hard maken, ik hoop dat ja daarmee bedoelt dat ik bij het nemen van het inwendige van eindige verzamelingen, gewoon het inwendige van 1 punt moet beschouwen, en daardoor dat punt dus "weggooi", en zo dus niets meer overhoud?
Als we toch een eindige deelverzameling van de ruimte waarin we werken beschouwen... Anders zou je dat punt niet kunnen "weggooien".
Of wil je dat echt nog in een wiskundige notatie hebben staan? Want dat is niet mijn sterkste kant :P

Nu, hoe zit het dan met het nemen van de sluiting van een verzameling? Ik neem aan dat ik dan weer maar de sluiting van 1 punt moet beschouwen. Er staat in mijn cursus dat de sluiting van een eindige verzameling de verzameling zelf is. Is dit omdat ik dat éne punt, niet willekeurig dicht kan benaderen door andere punten, omdat het van zichzelf een vast, 'eindig' punt is?

Je bent al zeer hard bedankt trouwens!

#8

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 10 juni 2011 - 15:45

Hehe ja de notatie snap ik gelukkig nog ;)
En het gevoel hard maken, ik hoop dat ja daarmee bedoelt dat ik bij het nemen van het inwendige van eindige verzamelingen, gewoon het inwendige van 1 punt moet beschouwen, en daardoor dat punt dus "weggooi", en zo dus niets meer overhoud?
Als we toch een eindige deelverzameling van de ruimte waarin we werken beschouwen... Anders zou je dat punt niet kunnen "weggooien".
Of wil je dat echt nog in een wiskundige notatie hebben staan? Want dat is niet mijn sterkste kant :P

Met hard maken, bedoel ik eerder hard maken dat het inwendige van één punt (singleton) de lege verzameling is...

Nu, hoe zit het dan met het nemen van de sluiting van een verzameling? Ik neem aan dat ik dan weer maar de sluiting van 1 punt moet beschouwen. Er staat in mijn cursus dat de sluiting van een eindige verzameling de verzameling zelf is. Is dit omdat ik dat éne punt, niet willekeurig dicht kan benaderen door andere punten, omdat het van zichzelf een vast, 'eindig' punt is?

Misschien is het volgende beter (je uitleg is wat té intuïtief vind ik persoonlijk :P): Kun je argumenteren dat een singleton een gesloten verzameling is? (Ken je een definitie hiervoor?) Je weet dat de sluiting van een gesloten verzameling gewoon de verzameling zelf is? Dan heb je dus dat de sluiting van een eindige verzameling de verzameling zelf is...

Je bent al zeer hard bedankt trouwens!

Graag gedaan hoor :P.

PS: wat bedoel je overigens met een "eindig" punt?

Veranderd door Drieske, 10 juni 2011 - 15:50

Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#9

*_gast_Sibylle Driezen_*

  • Gast

Geplaatst op 10 juni 2011 - 16:02

Misschien is het volgende beter (je uitleg is wat té intuïtief vind ik persoonlijk :P): Kun je argumenteren dat een singleton een gesloten verzameling is? (Ken je een definitie hiervoor?)


Ja guilty, ik studeer fysica, dus dat zal wel in mijn aard liggen om eerder intuïtief te werk te gaan.

De definitie voor een gesloten verzameling is dat haar sluiting de verzameling zelf is. Dus een enkel punt p is een gesloten verzameling omdat zij een afsluitingspunt is én tot de verzameling behoort.
Een afsluitingspunt is een punt waarvoor de afstand tot de verzameling, in dit geval het éne punt p, 0 is.
En dan misschien nog extra: voor een afsluitingspunt x moet gelden dat voor élke bol met middelpunt x de doorsnede met die éne verzameling niet leeg is.
En dus die éne verzameling bestaat slechts uit één punt p, dus de doorsnede met een andere verzameling moet altijd dat ene punt p bevatten, in dit geval moet dat éne punt dan in de bol zitten, en aangezien het voor elke bol moet gelden, moet het ook gelden voor een bol met een oneindig kleine straal, waardoor we dus hebben dat het afsluitingspunt x samenvalt met dat éné punt p.

Klopt deze redenering dan? En is ze wiskundig genoeg? ;)

#10

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 10 juni 2011 - 16:09

De definitie voor een gesloten verzameling is dat haar sluiting de verzameling zelf is. Dus een enkel punt p is een gesloten verzameling omdat zij een afsluitingspunt is én tot de verzameling behoort.

Een afsluitingspunt is een punt waarvoor de afstand tot de verzameling, in dit geval het éne punt p, 0 is.

Deze redenering vind ik niet echt goed. Ze draait in cirkeltjes. Immers willen we het gesloten zijn om in te zien dat de sluiting van een singleton dat singleton is. Maar je gebruikt de sluiting om te zeggen dat het gesloten is...

Beter is alvast:

En dan misschien nog extra: voor een afsluitingspunt x moet gelden dat voor élke bol met middelpunt x de doorsnede met die éne verzameling niet leeg is.
En dus die éne verzameling bestaat slechts uit één punt p, dus de doorsnede met een andere verzameling moet altijd dat ene punt p bevatten, in dit geval moet dat éne punt dan in de bol zitten, en aangezien het voor elke bol moet gelden, moet het ook gelden voor een bol met een oneindig kleine straal, waardoor we dus hebben dat het afsluitingspunt x samenvalt met dat éné punt p.

Klopt deze redenering dan? En is ze wiskundig genoeg? ;)

Mja, het komt al in de buurt. Maar makkelijker is volgens mij om te bewijzen dat het complement van een singleton open is :P. Maar laten we voor nu gewoon even "aannemen" dat een singleton gesloten is. Dan weet je dus dat een singleton de sluiting gewoon weer dat singleton geeft. De veralgemening naar een eindige unie lukt hier dan?

PS: op het einde wil ik evt wel eens zeggen hoe ik het allemaal zou argumenteren, maar dat nu al doen, lijkt me niet erg productief :P.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#11

*_gast_Sibylle Driezen_*

  • Gast

Geplaatst op 10 juni 2011 - 16:15

Pfoew wat een verwarrend vak.
Oke dat het complement van een punt open is, zie ik wel in ja, denk ik.
En je weet ook dat de unie van gesloten verzamelingen zelf gesloten is, dus dat de eindige unie van de punten gesloten is zie ik ook in.

Nu ben ik wel benieuwd hoe jij het zou doen!

#12

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 10 juni 2011 - 16:30

Wel, ik zou het gewoon doen zoals ik zei. Maar dan allemaal "exacter" gemaakt.. Ik ga dus allereerst bewijzen dat een singleton gesloten is. Neem dus a in R willekeurig. TB is {a} gesloten. Hiervoor ga ik bewijzen dat het complement van a open is...

Neem hiervoor x willekeurig in R\{a}. Kies dan LaTeX in R. Dan is LaTeX . En dus is per definitie het complement open en dus {a} gesloten Ditzelfde argument kun je herhalen voor elke eindige unie van singletons.

Neem nu dus zo een eindige unie van singletons. We weten dan dat deze unie gesloten is. Bijgevolg is de sluiting van de verzameling de verzameling zelf...

Zoals je ziet niet zoveel anders. Enkel "bewijs" ik dat {a} gesloten is ;) (hierbij maak ik wel de veronderstelling dat je weet dat een verzameling A gesloten is als slechts als het complement open is).

PS: wat is, denk je, de sluiting van bijv LaTeX ? De verz van de rationale getallen...

Veranderd door Drieske, 10 juni 2011 - 16:32

Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#13

*_gast_Sibylle Driezen_*

  • Gast

Geplaatst op 10 juni 2011 - 16:47

Amai, heel erg hard bedankt!
Dat is wat ik inderdaad nodig had, het bewijs ervoor.

De sluiting van de rationale getallen zijn de reële getallen, daar ben ik zelf wel niet opgekomen maar ik snap het wel.
Volgens mij, omdat je kan zeggen dat Q dicht is in R, wat wil zeggen dat je voor elk reëel getal r een rationaal getal q kan vinden waarvoor geldt dat
abs(x-q) < e (met e epsilon)
waardoor de reële getallen afsluitingspunten zijn van de rationale getallen.

Ik neem dan ook aan dat de afsluiting van de irrationale getallen de reële getallen zijn, klopt dit?

#14

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 10 juni 2011 - 16:55

Idd ;). Het was gewoon om je er even op te wijzen dat bij een aftelbare unie van singletons (zoals de rationale getallen) het niet zo is dat de sluiting de verzameling zelf is... En enig idee wat dan de sluiting is van de natuurlijke getallen N?

Ik neem dan ook aan dat de afsluiting van de irrationale getallen de reële getallen zijn, klopt dit?

Zou je je uitspraak kunnen staven? (Ik bedoel dus niet dat ze niet klopt hè :P)
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#15

*_gast_Sibylle Driezen_*

  • Gast

Geplaatst op 10 juni 2011 - 17:08

Idd ;). Het was gewoon om je er even op te wijzen dat bij een aftelbare unie van singletons (zoals de rationale getallen) het niet zo is dat de sluiting de verzameling zelf is... En enig idee wat dan de sluiting is van de natuurlijke getallen N?


Dat eerste is dan omdat Q dicht is in R?

Volgens mij is de sluiting van N gewoon N zelf...
Maar wat onderscheidt N dan exact van Q, in dit geval dan?
Is het omdat N geen dichte verzameling is? Ja kan bijvoorbeeld N opdelen in eindige verzamelingen van opeenvolgende elementen...

Zou je je uitspraak kunnen staven? (Ik bedoel dus niet dat ze niet klopt hè :P)


Omdat ook R/Q dicht is in R, je kan namelijk voor twee willekeurige reële getallen r en s
overaftelbaar veel irrationale getallen tussen deze reële getallen vinden, en dus ook een irrationaal getal i waarvoor geldt dat abs(r-i)<e wat dezelfde redenerig als het vorige geeft.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures