Springen naar inhoud

Matrix uit o(2)\so(2)


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Tempus

    Tempus


  • >250 berichten
  • 340 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 11 juni 2011 - 15:50

"Let (V, <,>) be a two-dimensional Euclidean vector space and let f: V → V be an orthogonal linear map, i.e. <f(x), f(y)> = <x, y> for all x, y ∈ V. We further assume that f, without being the identity on V, has a nontrivial fixed point, that is, a vector v0 ∈ V\0 with f(v0) = v0. Show that relative to any orthonormal basis (e1, e2) of V, the matrix representing f must be an element of O(2) \ SO(2)."

Uit "Linear Algebra" van Janich.

Kan iemand me helpen bij deze vraag? Ik heb het idee dat het niet zo moeilijk hoort te zijn, maar ik kom er toch niet uit. Volgens mij komt het erop neer dat je moet laten zien dat matrices uit SO(2) geen dekpunt kunnen hebben en matrices uit O(2)\SO(2) wel. Dit lijkt me nog logisch ook omdat vermenigvuldiging met deze twee matrixsoorten respectievelijk een rotatie en een reflectie oplevert. Maar dit (algebra´sch) aantonen lukt me niet.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Kravitz

    Kravitz


  • >1k berichten
  • 4042 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 12 juni 2011 - 21:10

Iemand die hier een handje kan toesteken?
"Success is the ability to go from one failure to another with no loss of enthusiasm" - Winston Churchill

#3

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 12 juni 2011 - 22:01

Je kunt beginnen met je punt v_0 eens ifv je orthonormale basis te schrijven. Je hebt een linear map, dus kun je die erdoor laten schuiven... Dan heb je ook nog je eigenwaarden, en je weet ook nog dat f(v_0) = v_0.

Uit dit alles kun je iets besluiten over je eigenwaarden. Je weet ook iets over de eigenwaarden van O(n) resp SO(n)...
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#4

Tempus

    Tempus


  • >250 berichten
  • 340 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 13 juni 2011 - 01:12

Ik weet niet goed wat je met "schuiven" bedoelt. Ik krijg wel: f(v0)=f(c1*e1+c2*e2)=c1*f(e1)+c2*f(e2). Als ik nu voor de functie f vermenigvuldiging met een matrix uit O(2)\SO(2) neem en gebruik dat e1=(1,0) en e2=(0,1), dan krijg de vergelijkingen:

c1 = c1*cos(a)+c2*sin(a) en c2 = c1*sin(a) - c2*cos(a).

Voor deze vergelijkingen zie ik zo geen oplossing. Ironisch genoeg levert a=0 wel een oplossing bij gebruik van matrices uit SO(2). ;)

En deze opgave komt uit een hoofdstuk dat voorafgaat aan eigenwaarden, daar weet ik dus nog niets van af.

#5

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 13 juni 2011 - 09:22

Ik weet niet goed wat je met "schuiven" bedoelt. Ik krijg wel: f(v0)=f(c1*e1+c2*e2)=c1*f(e1)+c2*f(e2). Als ik nu voor de functie f vermenigvuldiging met een matrix uit O(2)\SO(2) neem en gebruik dat e1=(1,0) en e2=(0,1), dan krijg de vergelijkingen:

c1 = c1*cos(a)+c2*sin(a) en c2 = c1*sin(a) - c2*cos(a).

Voor deze vergelijkingen zie ik zo geen oplossing. Ironisch genoeg levert a=0 wel een oplossing bij gebruik van matrices uit SO(2). ;)

En deze opgave komt uit een hoofdstuk dat voorafgaat aan eigenwaarden, daar weet ik dus nog niets van af.

e1 is een eigenvector. Dus het beeld van e1 is... Bedenk daarbij btw nog even dat je de opdracht een beetje fout opvat. Je moet bewijzen dat de matrix die f representeert uit O(2) komt. f is een linear map, dus bestaat er een A zodat je kunt zeggen: f(x) = Ax... Die A moet je 'karakteriseren'.

Verder heb je ook niet gebruikt dat f(v0) = v0...

PS: voor de goede orde, dat er geen 'verwarring' is. Wat voor matrices zijn O(2)-matrices en SO(2)-matrices?

PPS: met schuiven, bedoelde ik wat je nu gedaan hebt: f(c1*e1+c2*e2)=c1*f(e1)+c2*f(e2) :P.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#6

Tempus

    Tempus


  • >250 berichten
  • 340 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 13 juni 2011 - 13:15

[quote name='Drieske' post='674115' date='13 June 2011, 10:22']e1 is een eigenvector. Dus het beeld van e1 is...[/quote]Volgens mijn boek geldt voor een eigenvector f(v)=c*v. Dus het beeld van e1 zou c1*e1 moeten zijn, oftewel
(c1, 0) en voor e2 krijg je dan het beeld (0, c2).

[quote name='Drieske' post='674115' date='13 June 2011, 10:22']Bedenk daarbij btw nog even dat je de opdracht een beetje fout opvat. Je moet bewijzen dat de matrix die f representeert uit O(2) komt. f is een linear map, dus bestaat er een A zodat je kunt zeggen: f(x) = Ax... Die A moet je 'karakteriseren'.[/quote]Maar uit het gegeven dat Bericht bekijken
PS: voor de goede orde, dat er geen 'verwarring' is. Wat voor matrices zijn O(2)-matrices en SO(2)-matrices?[/quote]

Bericht bekijken
Verder heb je ook niet gebruikt dat f(v0) = v0...[/quote]Ik heb geprobeerd dit te gebruiken bij de afleiding van de vergelijkingen c1 = c1*cos(a)+c2*sin(a) en
c2 = c1*sin(a) - c2*cos(a). Ik stel dat v0 = (c1, c2) en probeer vervolgens een oplossing te vinden voor A*v0 = v0, waar die twee vergelijkingen uit afleidt. Mijn verwachting was dat deze vergelijkingen geen oplossing zouden hebben voor matrices uit SO(2) en wel voor matrices uit O(2)\SO(2). Maar het omgekeerde blijkt waar...

#7

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 13 juni 2011 - 13:29

Volgens mijn boek geldt voor een eigenvector f(v)=c*v. Dus het beeld van e1 zou c1*e1 moeten zijn, oftewel
(c1, 0) en voor e2 krijg je dan het beeld (0, c2).

Klopt (al is die c uiteraard maar een keuze; het is gewoon je eigenwaarde. Maar dat is niet wat jij doet...

Je hebt een vector v0 waarvoor geldt: f(v0) = v0. Verder heb je een basis van eigenvectoren (e1, e2) (met eigenwaarden resp c1 en c2). Je weet dat er dan a1 en a2 bestaan zodat: v0 = a1 e1 + a2 e2. Nu heb je dus dat:
a1 e1 + a2 e2 = v0 = f(v0) = f(a1 e1 + a2 e2) = ... Nu moet je nog wat puzzelen hoe je precies verder moet uiteraard...

Maar uit het gegeven kan je toch al concluderen dat A ∈ O(2)? Want deze twee uitspraken zijn logisch equivalent.

Klopt. Maar nog niet dat A niet in SO(2) zit... Uit je omschrijving van de matrices weet je dat O(2) de matrices zijn met determinant -1 of +1 en SO(2) die met determinant +1.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#8

Tempus

    Tempus


  • >250 berichten
  • 340 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 13 juni 2011 - 14:15

[quote name='Drieske' post='674164' date='13 June 2011, 14:29']Klopt (al is die c uiteraard maar een keuze; het is gewoon je eigenwaarde. Maar dat is niet wat jij doet...

Je hebt een vector v0 waarvoor geldt: f(v0) = v0. Verder heb je een basis van eigenvectoren (e1, e2) (met eigenwaarden resp c1 en c2). Je weet dat er dan a1 en a2 bestaan zodat: v0 = a1 e1 + a2 e2. Nu heb je dus dat:
a1 e1 + a2 e2 = v0 = f(v0) = f(a1 e1 + a2 e2) = ... Nu moet je nog wat puzzelen hoe je precies verder moet uiteraard...[/quote]Ik zal wel de uitwerking geven die ik op basis van deze opmerking bedacht had:

Bericht bekijken
Klopt. Maar nog niet dat A niet in SO(2) zit... Uit je omschrijving van de matrices weet je dat O(2) de matrices zijn met determinant -1 of +1 en SO(2) die met determinant +1.[/quote]Dat de determinanten die waarden hebben, kan ik inderdaad afleiden uit de determinant. Deze opgave gaat ook vooraf aan het hoofdstuk dat determinanten behandelt. De oplossing die de schrijver bedoeld heeft zal dus niets met determinanten te maken hebben, lijkt me. (Het is niet zo dat ik niet in die oplossing ge´ntereseerd hoor, het zal mijn inzicht in lineaire algebra alleen maar verbeteren.) aar omdat ik geen uitwerkingen heb of kan vinden weet ik niet hoe de oplossing wel in elkaar steekt.

Veranderd door Tempus, 13 juni 2011 - 14:15


#9

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 13 juni 2011 - 17:14

Ik zal wel de uitwerking geven die ik op basis van deze opmerking bedacht had:

LaTeX

LaTeX LaTeX .

Uit de gelijkheid LaTeX LaTeX leidt ik dan de twee eerder genoemde formules af. Deze vergelijking heeft geen oplossing, maar bij gebruik van een matrix uit SO(2) zou deze vergelijking wel een oplossing hebben, namelijk a=0. Mijn conclusie zou dus zijn dat dat matrix die bij de functie hoort er een is van het type SO(2). Dit is natuurlijk fout. Maar mijn vraag is: waarom? En dan weet ik ook niet in welke richting ik wel moet zoeken.

Nu vul je al uw matrix in... Dat is uiteraard een beetje de wereld op zijn kop. Ken je op het moment van de opgave het concept eigenwaarde al? Ken je dan een karakterisatie van O(2) en SO(2) ifv eigenwaarden?

PS: ben je zeker dat de opgave klopt?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#10

Tempus

    Tempus


  • >250 berichten
  • 340 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 13 juni 2011 - 18:19

Nu vul je al uw matrix in... Dat is uiteraard een beetje de wereld op zijn kop.

Wat is er dan fout aan mijn redenering? Je weet al dat de matrix uit O(2) moet komen, als ik dan laat zien dat matrices uit O(2)\SO(2) niet voldoen aan het gegeven f(v0)=v0 (wat ik op de een of de andere manier niet doe, blijkbaar), dan zou ik juist zeggen dat de matrix uit SO(2) moet komen. Dus wat gaat er dan mis in uitwerking?


Ken je op het moment van de opgave het concept eigenwaarde al? Ken je dan een karakterisatie van O(2) en SO(2) ifv eigenwaarden?

Ik weet er zelf nog praktisch niets van af. Maar in mijn boek zie ik de definitie van eigenwaarde en lees ik ook dat een matrix relatief aan een basis van eigenvectoren de eigenwaarden van die eigenvectoren als diagonaal heeft. Misschien dat dat hier iets mee te maken heeft?


PS: ben je zeker dat de opgave klopt?

Ik heb de opgave letterlijk overgeschreven uit mijn boek en nog een keer gecontroleerd. Dus ik ben er zeker van dat dit de gegeven opgave is.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures