Springen naar inhoud

[Wiskunde] Vectoren


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Jeroen

    Jeroen


  • >250 berichten
  • 351 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 29 september 2005 - 14:47

Ik heb een lastige opdracht, we zijn net begonnen met vectorrekenen en ik kom er bij deze niet uit:

Schip A vaart richting het oosten met een snelheid van 3m/s
Schip B zit 100km ten Noord/Oosten van schip A en heeft een snelheid van 4m/s richting het Zuiden

a) wat is de snelheid van B t.o.v. A (hier had ik 5m/s uit)

b) als ze hun snelheden aanhouden wat is dan de kortste afstand waarmee ze elkaar passeren.

c) als A een radio heeft met een bereik van 20km, hoe lang kunnen ze dan contact houden.

Dus zou iemand mij hier kunnen helpen? Het moet wel zoveel mogelijk met vectoren berekend worden.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Bart

    Bart


  • >5k berichten
  • 7224 berichten
  • VIP

Geplaatst op 29 september 2005 - 15:44

Even wat definities:

het beginpunt van schip A noemen we (0,0). Het noorden is de positieve y-as en het oosten de positieve x-as

A begint dus in (0,0) en heeft een snelheid van (3,0)
B begint dus in (1,-1) * 100,000 / [wortel]2 (snap je waarom?) met een snelheid van (0, -4)

a) Indien je vanuit B de wereld wilt kijken, moet je als observer zelf een snelheid van (0, -4) hebben. Dat betekent dat bij alle snelheden vanuit jouw oogpunt (0, 4) wordt opgeteld.

Schip A heeft in dat geval een snelheid van (3, 4). De grootte van de snelheid is met pythagoras uit te rekenen en is inderdaad 5 m/s

b) De positie van schip A kun je schrijven als een vergelijking, afhankelijk van de tijd:

(xa(t), ya(t)) = (0, 0) + t * (3, 0)

en voor B:

(xb(t), yb(t)) = (1,-1) * 100,000 / [wortel]2 + t * (0, -4)

De afstandsvector waarmee ze passeren is (xa - xb, ya - yb) en met pythagoras kun je de afstand zelf vinden. Er wordt gevraagd om de minimale afstand die ze kunnen hebben. Dat vraagt dus om afgeleiden. Probeer het nu verder zelf eens en anders help ik je verder op weg.

c) los nu op (xa - xb, ya - yb) <= 20,000
If I have seen further it is by standing on the shoulders of giants.-- Isaac Newton

#3

Jeroen

    Jeroen


  • >250 berichten
  • 351 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 29 september 2005 - 16:44

Ik heb meteen al een vraagje over het begin. Moet B niet (1,1) zijn? want hij begint ten NO van A Dan is dat 1 naar het noorden en 1 naar het oosten, dat moet toch allebei positief zijn dan?

en ik kan ook niet helemaal volgen waarom je kunt stellen dat boot B op punt (1,1) begint? Dat heeft denk ik te maken met het feit dat de vector een hoek van 45 graden heeft waardoor de twee 'zijden' gelijk zijn. Het had dus ook 2,2 kunnen zijn?

en begrijp ik het goed dat de stelling: (1,-1)*100.000/wortel2 vertelt dat die vector 45 graden t.ov. de x-as wijst en een lengte heeft van 100.000m?

en wat neem ik voor t?

een hoop vragen weer maar misschien dat me zo ook weer een hoop duidelijk wordt

#4

Bart

    Bart


  • >5k berichten
  • 7224 berichten
  • VIP

Geplaatst op 29 september 2005 - 17:07

Het had inderdaad (1, 1) moeten zijn (ik doe dit volledig uit mijn hoofd en dan gooi ik ook wel eens dingen door elkaar heen).

Verder was mijn notatie misschien niet zo heel slim gekozen, maar het was eenmaal de minste schrijfwerk.

De afstand tot het nulpunt is 100,000 meter. Doordat de richting Noord / Oost is (dus 45 graden), weet je dat de x-component net zo groot is als de y component, benoem deze a = x = y

een punt (a, a) heeft als afstand tot de oorsprong de lengte a [wortel]2 (volgt uit pythagoras). Die lengte is gelijk aan 100,000 meter, waardoor a (en dus ook x en y) gelijk zijn aan 100,000 / [wortel]2

De beginpositie van schip B is dus (100,000 / [wortel]2; 100,000 / [wortel]2), maar dit mag je ook schrijven als (1, 1) * 100,000 / [wortel]2

Een vector (a, b) mag je namelijk ook schrijven als a * (1, b / a) of b * ( a / b, 1). De snelheid van schip B (0, -4) had je dus ook mogen schrijven als 4 * (0, -1) of -4 * (0, 1). Een getal wat je vermenigvuldigt met een vector, vermenigvuldig je dus met zowel de x als de y component.
If I have seen further it is by standing on the shoulders of giants.-- Isaac Newton

#5

Jeroen

    Jeroen


  • >250 berichten
  • 351 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 29 september 2005 - 17:53

ik kan alles wel volgen wat je hierboven uit hebt gelegd, maar ik weet toch nog steeds niet wat ik met de t moet doen in de formules die je gegeven hebt. In de opdracht wordt nergens een bepaalde tijd gegeven.

#6

Bart

    Bart


  • >5k berichten
  • 7224 berichten
  • VIP

Geplaatst op 29 september 2005 - 18:24

We hadden: de positie van schip A kun je schrijven als een vergelijking, afhankelijk van de tijd:

(xa(t), ya(t)) = (0, 0) + t * (3, 0)

en voor B:

(xb(t), yb(t)) = (1, 1) * 100,000 / [wortel]2 + t * (0, -4)

Voor het gemak noem ik 100,000 / [wortel]2 = a
De afstand tussen beide schepen is dan:

(xa - xb, ya - yb) = t * (3, 0) - (1, 1) * a - t * (0, -4) = t * (3, 4) - a * (1, 1)

r(t) = sqrt[ (xa-xb)2 + (ya-yb)2 ]
r(t) = sqrt[ (3t - a)2 + (4t - a)2 ]

r is dus de afstand tussen beide schepen, afhankelijk van de tijd.

Om te weten wanneer de schepen op minimale afstand van elkaar zitten, los je op naar t:

r'(t) = 0

Daaruit volgt (als ik het goed heb uitgerekend) dat op t = 14 a / 50 de afstand minimaal is. Deze waarde voor t vul je in in r(t) en dan heb je de daadwerkelijke minimale afstand (als het goed is a/5)
If I have seen further it is by standing on the shoulders of giants.-- Isaac Newton

#7

Jeroen

    Jeroen


  • >250 berichten
  • 351 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 29 september 2005 - 18:57

sorry hoor maar ik kom er nog steeds niet uit. ik kan niet volgen hoe ik aan het uiteindelijke antwoord kom. Ik zit me blind te staren op dat ik in die formules 2 onbekenden heb: r (die wil ik weten) en dan t en die moet ik ook al berekenen?

#8

Bart

    Bart


  • >5k berichten
  • 7224 berichten
  • VIP

Geplaatst op 29 september 2005 - 19:16

sorry hoor maar ik kom er nog steeds niet uit. ik kan niet volgen hoe ik aan het uiteindelijke antwoord kom. Ik zit me blind te staren op dat ik in die formules 2 onbekenden heb: r (die wil ik weten) en dan t en die moet ik ook al berekenen?


Ja. Er is namelijk nog wat gegeven, en dat is dat de schepen zich op een MINIMUM afstand bevinden.

Hoe reken je het minimum van een functie uit?
If I have seen further it is by standing on the shoulders of giants.-- Isaac Newton

#9

Jeroen

    Jeroen


  • >250 berichten
  • 351 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 29 september 2005 - 19:53

de functie naar 0 herleiden alleen ik kan die functie van r(t) toch niet naar 0 herleiden want r(t) is de minimale afstand en dan zou ik meteen al kunnen zeggen dat de minimale afstand 0 is.

Ik maak ergens een vreselijke denkfout ik ben blij dat ik deze vragen niet in de klas hoef te stellen.

Ik hoop dat je nog gedult met me hebt :shock:

#10

Bart

    Bart


  • >5k berichten
  • 7224 berichten
  • VIP

Geplaatst op 29 september 2005 - 20:03

Het minimum vindt je niet door r(t) gelijk aan nul te stellen, maar door de afgeleide van r(t) gelijk aan nul te stellen. Daaruit volgt je waarde voor t, waarbij r(t) minimaal is.
If I have seen further it is by standing on the shoulders of giants.-- Isaac Newton

#11


  • Gast

Geplaatst op 02 oktober 2005 - 18:09

Ik heb het weer een tijdje laten liggen en was verder gegaan met de rest van mn huiswerk want ik kwam er nog altijd niet uit.

Ik wil het toch nog niet opgeven, maar ik denk dat ik toch nog meer hulp nodig zal hebben, om te beginnen, hoe vind ik de afgeleide van r(t)
is dat dmv differentieren, want dat heb ik nog niet bepaald onder de knie.

zou je me nog verder kunnen helpen?

#12

Bart

    Bart


  • >5k berichten
  • 7224 berichten
  • VIP

Geplaatst op 02 oktober 2005 - 18:19

Ik heb het weer een tijdje laten liggen en was verder gegaan met de rest van mn huiswerk want ik kwam er nog altijd niet uit.

Ik wil het toch nog niet opgeven, maar ik denk dat ik toch nog meer hulp nodig zal hebben, om te beginnen, hoe vind ik de afgeleide van r(t)
is dat dmv differentieren, want dat heb ik nog niet bepaald onder de knie.

zou je me nog verder kunnen helpen?


afgeleide bepalen van r(t) is inderdaad differentieren. Ik kan je daarmee niet s anders dan verwijzen naar de minicursus differentieren. Hooguit kan ik het nog stap voor stap voordoen.

Maar voor welk niveau is deze opgave eigenlijk? Ik heb namelijk het idee dat ik veel te formeel bezig ben.
If I have seen further it is by standing on the shoulders of giants.-- Isaac Newton

#13

Jeroen

    Jeroen


  • >250 berichten
  • 351 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 02 oktober 2005 - 18:53

Nou ik denk dat normaal gesproken iemand van mijn opleiding dit zou moeten begrijpen. Ik zit nu in het eerste jaar HBO technische natuurkunde.
Ik heb hiervoor MBO elektro gedaan en het is dus voor mij 2 jaar geleden sinds ik natuur en wiskunde heb gehad en ik ben geeindigd met een half jaar stage, dus ook geen lessen meer.

Ik heb nu dus veel moeite om bij te komen maar doe er ook alles aan, want ik wil heel graag beter worden hierin en ik merk al wel dat ik in de afgelopen drie weken toch vooruit ben gekomen. Alleen bij bepaalde dingen gaat het moeizaam vooruit.

Ik hoop niet dat ik teveel vragen stel hier, want het helpt wel.

over het differentieren, stap voor stap voordoen zou wel fijn zijn, want dan kan ik het als aantekening gebruiken en zelf nog mee oefenen.

#14

Bart

    Bart


  • >5k berichten
  • 7224 berichten
  • VIP

Geplaatst op 03 oktober 2005 - 08:30

Ok hier gaat ie.

r(t) = :shock:[ (3t -a)2 + (4t -a)2 ]

Wat we zien is een wortel, en twee kwadratische functies binnen de wortelfunctie. Hier is dus de kettingregel van toepassing.

ik noem voor het schrijfgemak alles wat onder de wortel staat D, dus

D = (3t -a)2 + (4t -a)2

De kettingregel zegt (zie minicursus) dat de afgeleide van een functie (f(g(x)) gelijk is aan f'(g(x)) * g'(x)

In ons geval is dit dus (afgeleide naar de tijd)

r'(t) = ([wortel]D)' * D'

De afgeleide van [wortel]D = 1 / (2 [wortel]D)

Nu nog de afgeleide van D zelf:

D = (3t -a)2 + (4t -a)2

haakjes wegwerken:

D = 25 t2 + 2 a2 - 14 t a

D' = 50 t - 14 a

waarna de volledige afgeleide van r(t) wordt

r'(t) = (50 t - 14 a) / (2 [wortel]D)
If I have seen further it is by standing on the shoulders of giants.-- Isaac Newton





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures