Bewijs dat een vector een basis is

Moderators: dirkwb, Xilvo

Berichten: 39

Bewijs dat een vector een basis is

Ik moet van onderstaande oefening bewijzen dat de vector basis is, hoe doe je dat ook al weer? Het is al een hele tijd geleden voor mij.... Wie kan mij helpen dit te oplossen?
Als (e1; e2; e3) een basis is van R; V;+ bewijs dan dat ook (e1 + e2, e2 + e3, e3 + e1) en (e1, e1 + e2, e1 + e2 + e3) basissen zijn van R; V;+
Alvast bedankt

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Bewijs dat een vector een basis is

Ken je volgende begrippen?

- Vrije (onafhankelijke) vectoren (kort gezegd: dit betekent dat {v1, v2, v3} een vrij is als er geldt: n1 v1 + n2 v2 + n3 v3 = 0 dan moeten n1 = n2 = n3 = 0)

- Voortbrengende vectoren (kort gezegd: dit betekent dat {v1, v2, v3} onafhankelijk is als er geldt: voor alle v bestaan er n1, n2, n3 zodat: n1 v1 + n2 v2 + n3 v3 = v)

Opdat iets een basis is, moet het vrij en voortbrengen zijn...
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Berichten: 39

Re: Bewijs dat een vector een basis is

Ja dat heb ik inderdaad geleerd, maar hoe kan je dat toepassen op de oefening?

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Bewijs dat een vector een basis is

Welja, bijv de eerste. Daar moet je bewijzen dat {e1 + e2, e2 + e3, e3 + e1} een basis is.

Dus stel dat er geldt:

a1 (e1 + e2) + a2 (e2 + e3) + a3 (e3 + e1) = 0.

Dan moet jij bewijzen dat a1 = a2 = a3 = 0.

Herschrijf hiertoe alles ifv e1, e2, e3. Dat geeft:

(a1 + a3) e1 + (a1 + a2) e2 + (a2 + a3) e3 = 0.

We weten nu dat {e1, e2, e3} een basis is, dus geldt er:

a1+a3 = 0

a1+a2 = 0

a2+a3 = 0.

Nu beetje telwerk en je vindt?

Kun je nu voortbrengend zelf doen? En de tweede opgave?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Bewijs dat een vector een basis is

Verplaatst naar Lineaire algebra.
Drieske schreef:- Voortbrengende vectoren (kort gezegd: dit betekent dat {v1, v2, v3} onafhankelijk voortbrengend is als er geldt: voor alle v bestaan er n1, n2, n3 zodat: n1 v1 + n2 v2 + n3 v3 = v)

Opdat iets een basis is, moet het vrij en voortbrengen zijn...
;)
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Bewijs dat een vector een basis is

@ TD: dankje om er op te wijzen ;) . Idd een stomme typo...
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Berichten: 39

Re: Bewijs dat een vector een basis is

Hmmm, het is me nog steeds niet erg duidelijk waar je naartoe wilt gaan..

Wat moet je nu berekenen?

Sorry, maar ik ben echt slecht in vectoren!

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Bewijs dat een vector een basis is

Ik heb nu een stelsel van 3 vergelijkingen en 3 onbekenden (a1, a2 en a3). Zijnde:

a1+a3 = 0

a1+a2 = 0

a2+a3 = 0

Heb je geleerd hoe je stelsels oplost? Wat is dan de oplossing?

PS: sorry moet niet ;) . Daarvoor dient het forum.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Berichten: 39

Re: Bewijs dat een vector een basis is

Ja dat heb ik zeker en vast geleerd, ik probeer het even!
Ja dat heb ik zeker en vast geleerd, ik probeer het even!
Met welke waarden begin je juist in je stelsel?

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Bewijs dat een vector een basis is

Ik snap niet goed wat je hiermee bedoelt... Je moet toch geen 'startwaarde' ofzo hebben om een stelsel op te lossen?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Berichten: 39

Re: Bewijs dat een vector een basis is

Nee, sorry ik was even in de war! Maar ik moet dus het stelsel oplossen om in functie van de 'andere' a's een a te berekenen, juist?

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Bewijs dat een vector een basis is

Ongeveer juist ;) . Je hebt 3 vergelijkingen 3 onbekenden, dus normaal moet je een exacte oplossing kunnen vinden. Dit kun je idd doen door variabelen te 'vervangen'.

Stel even een versimpeld stelsel:

x + y = 0

x - y = 1

Zou je dit kunnen oplossen?

PS: heb je gezien hoe je een stelsel in een matrix zet?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Berichten: 39

Re: Bewijs dat een vector een basis is

Ja, dat heb ik gezien, daarom wou ik het stelsel ook meteen in een matrix zetten, maar hoe doe je dat als je variabelen geen waarde heeft die je kent?

Je komt dan toch gewoon a1= 0, a2=0 en a3= 0 uit?

ps. ik kom x = 0,5 en y = -0,5 uit :-)

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Bewijs dat een vector een basis is

Je zoekt waarden voor een matrix A zodat je stelsel equivalent is met
\(A \begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3\end{pmatrix}\)
.

Zie je hoe dit kan?

PS: dat klopt ;) . Nu kun je gelijkaardig jouw 'groter' stelsel oplossen...

PPS: omdat je 3 vergelijkingen en 3 onbekenden hebt, is uw matrix A een 3x3 matrix. Zie je dit?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Berichten: 39

Re: Bewijs dat een vector een basis is

Dus je doet dit?
\(\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 0\end{pmatrix} . \begin{pmatrix} a1\\a2\\a3\end{pmatrix}\)
Ooh of dit?
\(\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} . \begin{pmatrix} a1\\a2\\a3\end{pmatrix}\)

Reageer