Machtreeksen

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer
Berichten: 24

Machtreeksen

Ik ben druk in de weer met de voorbereiding voor een tentamen analyse aanstaande vrijdag. Er wordt een sterke nadruk op machtreeksen gelegd, en het snel en handig kunnen werken met deze dingen is essentieel. Een vraag die overal opduikt is:

"Bepaal de machtreeksontwikkeling van
\(\frac{P(z)}{Q(z)}\)
rond het punt
\(z_0\)
, waarbij
\(P(z)\)
en
\(Q(z)\)
polynomen van graad ten hoogste drie zijn."[/i]

Vaak lukt het me, maar lang niet altijd. De teller
\(P(z)\)
is geen probleem, maar zodra de noemer
\(Q(z)\)
vies wordt, wil het me maar zelden lukken. Is er een algemene methode om dit aan te pakken?

Met een illustratief voorbeeld ben ik ook tevreden, bijvoorbeeld het bepalen van de machtreeksontwikkeling rond
\(1+i\)
van
\(f(z)=\frac{1}{(z-1)(z+2i)(z-3+i)}\)
Waarom?

Gebruikersavatar
Berichten: 3.330

Re: Machtreeksen

Reeksontwikkeling van Taylor.

Zie hier
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Machtreeksen

Zou je we de reeksontw kunnen vinden van 1/(z-1) rond 1+i?

Berichten: 24

Re: Machtreeksen

Dat soort lukt met een beetje geklooi altijd wel; ik heb de algemene methode in dat geval wel door. De oplossing lijkt me;
\(\frac{1}{z-1}=-\frac{1}{(1-(1+i))-(z-(1+i))}=-i\cdot\frac{1}{1-i(z-(1+i))}=\sum_{k=0}^{\infty}i^{-k-1}\cdot(z-(1+i))^k.\)
Het vervelende is het product van drie van dat soort machtreeksen bepalen. De enige manier die ik kan bedenken, het brute force uitwerken van
\(\left(\sum_{k=0}^{\infty}a_k(z-P)^k\right)\cdot\left(\sum_{k=0}^{\infty}b_k(z-P)^k\right)=\sum_{k=0}^{\infty}\left(\sum_{j=0}^ka_jb_{k-j}\right)\cdot(z-P)^k,\)
en dat is volgens mij extreem onprettig in het geval je drie machtreeksen moet vermenigvuldigen.

Het probleem heeft zich, na de stof beter te lezen, echter verplaatst. Aangezien ik nogal een neuroot ben, begin ik daarvoor een nieuwe thread, namelijk over Laurentreeksen. Bedankt voor de hulp, hopelijk hoor ik nog van jullie over Laurentreeksen ;)
Waarom?

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Machtreeksen

Zoek A B en C zodat:
\(f(z)=\frac{1}{(z-1)(z+2i)(z-3+i)} = \frac{A}{z - 1} + \frac{B}{z + 2i} + \frac{C}{z - 3 + i}\)
.

Lukt het je dan wel om de machtreeks op te stellen?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Berichten: 24

Re: Machtreeksen

Ook bijzonder veel rekenwerk, maar in mijn optiek wel een stuk eleganter.

Vooral het feit dat ik nu geen machtreeksen hoef te vermenigvuldigen, maakt mij heel gelukkig.

Wat kan het leven af en toe toch ontzettend simpel zijn. Dankjewel ;)
Waarom?

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Machtreeksen

Pelle Almqvist schreef:Ook bijzonder veel rekenwerk, maar in mijn optiek wel een stuk eleganter.

Vooral het feit dat ik nu geen machtreeksen hoef te vermenigvuldigen, maakt mij heel gelukkig.

Wat kan het leven af en toe toch ontzettend simpel zijn. Dankjewel ;)
Graag gedaan :P ! Veel succes met je tentamen binnenkort!
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Reageer