Dimensie van een veeltermruimte

Moderators: dirkwb, Xilvo

Gebruikersavatar
Berichten: 997

Dimensie van een veeltermruimte

in mijn cursus staat
\(\text{dim} \ {\mathcal{P}}_d^n = \left( \begin{array}{c} n+d \\ d \end{array} \right)\)
met
\({\mathcal{P}}_d^n\)
de vectorruimte van alle algebraïsche veeltermen in n variabelen van graad ten hoogste d

en dan staat er ook nog
\(\text{dim} \ {\mathcal{P}}_d^n |_{ \Omega } = \left( \begin{array}{c} n+d \\ n \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} n+d -2 \\ n \end{array} \right)\)
met
\(\Omega = \{ \bold{x} : \sum_{i=1}^n x_i^2 =1 \}\)
is er iemand die dit kan bewijzen?

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Dimensie van een veeltermruimte

HolyCow schreef:in mijn cursus staat
\(\text{dim} \ {\mathcal{P}}_d^n = \left( \begin{array}{c} n+d \\ n \end{array} \right)\)
met
\({\mathcal{P}}_d^n\)
de vectorruimte van alle algebraïsche veeltermen in n variabelen van graad ten hoogste d
Stel even dat je d vervangt door 1. Zou je dan de 'stelling' kunnen bewijzen?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Dimensie van een veeltermruimte

Verplaatst naar lineaire algebra.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 997

Re: Dimensie van een veeltermruimte

Ja, dat lukt me: Een basis voor
\(\mathcal{P}_1^n\)
is
\(1,x_1,x_2,x_3,...,x_n\)
dus is
\(\text{dim} \ {\mathcal{P}}_1^n = n+1 = \frac{ (n+1)! }{1! (n+1-1)!} = \left( \begin{array}{c} n+1 \\ 1 \end{array} \right)\)
Dan zou ik intuïtief verdergaan door de algemene stelling te bewijzen dmv inductie:
\(\text{dim} \mathcal{P}_{d+1}^n= \text{dim} \mathcal{P}_d^n + \# \{ \text{alle monomialen van graad } d+1 \}\)
maar bij het berekenen van die kardinaliteit loop ik vast

PS: kan een moderator aub de fout in mijn eerste post corrigeren?
\(\text{dim} \ {\mathcal{P}}_d^n = \left( \begin{array}{c} n+d \\ n \end{array} \right)\)
moest zijn:
\(\text{dim} \ {\mathcal{P}}_d^n = \left( \begin{array}{c} n+d \\ d \end{array} \right)\)

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Dimensie van een veeltermruimte

PS: kan een moderator aub de fout in mijn eerste post corrigeren?
\(\text{dim} \ {\mathcal{P}}_d^n = \left( \begin{array}{c} n+d \\ n \end{array} \right)\)
moest zijn:
\(\text{dim} \ {\mathcal{P}}_d^n = \left( \begin{array}{c} n+d \\ d \end{array} \right)\)
Done ;) . Al maakte dat niet veel uit eigenlijk. Die twee zijn immers gelijk ;) .
Dan zou ik intuïtief verdergaan door de algemene stelling te bewijzen dmv inductie:
\(\text{dim} \mathcal{P}_{d+1}^n= \text{dim} \mathcal{P}_d^n + \# \{ \text{alle monomialen van graad } d+1 \}\)
maar bij het berekenen van die kardinaliteit loop ik vast
Dat is inderdaad de goede manier om te beginnen :P . Dus het te bewijzen is nu eigenlijk herleid tot:
\(n+d+1 \choose d+1\)
=
\(n+d \choose d\)
+iets.

Als je 'iets' nu kunt vervangen door een formule zodat deze gelijkheid klopt, ben je er (ik weet, triviaal wat ik nu zeg :P ). Heb je nu een idee wat dit zou moeten zijn dan? Want gewoon in het wilde weg bewijzen, gaat wel, maar is vaak moeilijker. Als je geen idee hebt, kun je ook al es denken welke monomen (of monomialen, dat is hetzelfde hoop ik :P ) er sowieso in zitten.

PS: weet iemand hoe je die '\choose' in een formule gebruikt? Hij zette alles in de eerste '\choose'...
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Berichten: 4.246

Re: Dimensie van een veeltermruimte

PS: weet iemand hoe je die '\choose' in een formule gebruikt? Hij zette alles in de eerste '\choose'...

\({n+d+1 \choose d+1} = {n+d \choose d}\)
Quitters never win and winners never quit.

Gebruikersavatar
Berichten: 997

Re: Dimensie van een veeltermruimte

Ik probeer de monomen te tellen die er in moeten zitten:
\(x_i^d, \ i=1,...,n\)
\(x_i^{d-1}x_j,x_i^{d-2}x_j^2,...,x_ix_j^{d-1}, \ i,j=1,...,n, \ i \neq j\)
(maar hoeveel zijn dit er dan?)

hoe moet ik nu verder?

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Dimensie van een veeltermruimte

Op deze pagina net voor 'Example' staan drie interessante formules. Eén ervan trekt hard op wat jij zou willen. Welke? Wat geeft dat dan in dit geval en zie je of je dit kunt aantonen?

Btw, denk hierover eens ivm jouw post: beschouw een vaste i. Neem dan
\(x_i^{d-1}x_j\)
. Hoeveel mogelijkheden heb je? Dit 'herhaal' je dan voor d-2, d-3, ...
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Gebruikersavatar
Berichten: 997

Re: Dimensie van een veeltermruimte

Beschouw de eenterm
\(x_i^{e_i} x_j^{e_j} x_k^{e_k} \cdots x_l^{e_l}\)
met
\(i,j,k,...,l \in \{ 1,2,3,...,n \}\)
allen verschillend

en met
\(\# \{ i,j,k,...,l \} =m \leq n \leq d+1\)
en met
\(e_i+e_j+e_k+ \cdots +e_l=d+1\)
Het aantal verschillende combinaties voor de exponenten is
\({d \choose m-1}\)
Het aantal verschillende combinaties voor de indexen is
\({n \choose m}\)


Maar dan twijfel ik of je die twee combinaties zomaar mag vermenigvuldigen om het totaal aantal verschillende eentermen te verkrijgen waarbij er
\(n-m\)
exponenten verschillend zijn van nul. Zoja geldt er dan dat
\(\# \{ \text{alle monomialen van graad } d+1 \} = \sum_{m=1}^{n} {d \choose m-1} {n \choose m}\)
maar hoe maak ik hier een bruikbare vorm van voor mijn oorspronkelijk bewijs?

Gebruikersavatar
Berichten: 997

Re: Dimensie van een veeltermruimte

ben er geraakt

heb met behulp van Maple kunnen aantonen dat
\(\sum_{m=1}^{n} {d \choose m-1} {n \choose m}= \frac{ \Gamma (d+1+n) }{ \Gamma (d+2) \Gamma(n) }\)
daaruit volgt makkelijk
\(\sum_{m=1}^{n} {d \choose m-1} {n \choose m}= \frac{ (d+n)! }{ (d+1)! (n-1)! } = {d+n \choose d+1}\)
de rest van het oorspronkelijke bewijs is dan ook snel gemaakt door een beetje te spelen met breuken en faculteiten

Gebruikersavatar
Berichten: 997

Re: Dimensie van een veeltermruimte

Kan iemand me nog helpen met mijn tweede vraag?

Ik denk dat
\(\text{dim} \ {\mathcal{P}}_d^n |_{ \Omega } = \text{dim} \ {\mathcal{P}}_d^n - \# \left\{ \text{ een basis voor } \left\{ { \left( \sum_{i=1}^n x_i^2 \right) }^p : p \in \mathbb{N} , \ p \leq \left\lfloor \frac{d}{2} \right\rfloor \right\} \right\}\)
Nu probeer ik weer alle eentermen
\(x_i^2 x_j^2 x_k^2 \cdots x_l^2\)
te tellen die nodig zijn om
\( \left\{ { \left( \sum_{i=1}^n x_i^2 \right) }^p : p \in \mathbb{N} , \ p \leq \left\lfloor \frac{d}{2} \right\rfloor \right\} \)
op te bouwen:
\(p=0:\)
we identificeren alle veeltermen
\({ \left( \sum_{i=1}^n x_i^2 \right) }^p\)
voor
\(1 \leq p \leq \left\lfloor \frac{d}{2} \right\rfloor\)
met deze voor
\(p=0\)
, dus dit geval tellen we niet mee
\(p=1: \ \#=n\)
\(p=2: \ \#={n \choose 2}+n\)
\(p=3: \ \#={n \choose 3}+{n \choose 2}+n\)
\(p=4: \ \#={n \choose 4}+{n \choose 3}+{n \choose 2}+n+{n \choose 2}\)
\(p=5: \ \#={n \choose 5}+{n \choose 4}+{n \choose 3}+{n \choose 2}+n+{n \choose 2}+{n \choose 3}\)
\(p=6: \ \#={n \choose 6}+{n \choose 5}+{n \choose 4}+{n \choose 3}+{n \choose 2}+n+{n \choose 2}+{n \choose 3}+{n \choose 4}+{n \choose 2}+{n \choose 3}\)
hierin staat
\(n\)
voor het geval alle indexen in
\(x_i^2 x_j^2 x_k^2 \cdots x_l^2\)
verschillend zijn

wat voor
\(n\)
staat telt alle gevallen waarbij er 1 groep van indexen gelijk is

wat na
\(n\)
staat telt alle gevallen waarbij er meerdere groepen indexen gelijk zijn

probleem: ik herken hier geen patroon in

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Dimensie van een veeltermruimte

\(\mathcal{P}_d^n |_{ \Omega }\)
Ik ben niet bekend met deze notatie... Is dit Omega eruit weglaten of net een beperking tot omega?

Proficiat btw met het alsnog vinden van de oplossing van deel1 ;) .
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Gebruikersavatar
Berichten: 997

Re: Dimensie van een veeltermruimte

Ik bedoel hiermee de veeltermruimte van alle veeltermen, van graad ten hoogste d in n variabelen, gedefinieerd op Omega. Dan zijn er 2 gevallen:

1) Omega heeft inwendige punten: er veranderd niets aan de veeltermruimte:
\(\mathcal{P}_d^n |_{ \Omega } = \mathcal{P}_d^n\)
2) (mijn geval) Omega heeft geen inwendige punten: bepaalde veeltermen identificeren zich met elkaar op Omega, de dimensie van de ruimte neemt af.

dus:
\(p \in \mathcal{P}_d^n |_{ \Omega }: \Omega \subset { \mathbb{R} }^n \rightarrow \mathbb{R}\)

Gebruikersavatar
Berichten: 997

Re: Dimensie van een veeltermruimte

Ik heb net door dat ik fout bezig ben. Ik moet niet een basis voor
\(\left\{ { \left( \sum_{i=1}^n x_i^2 \right) }^p : p \in \mathbb{N} , \ p \leq \left\lfloor \frac{d}{2} \right\rfloor \right\}\)
zoeken. Immers zijn alle elementen daarvan lineair onafhankelijk. Maar wat moet ik dan wel doen? de kardinaliteit van die verzameling is volgens mij
\(\left\lfloor \frac{d}{2} \right\rfloor\)
dus dat kan het ook niet zijn.

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Dimensie van een veeltermruimte

Het is een pittige moet ik zeggen ;) . VOorlopig zie ik het helaas niet.

Mag ik vragen van waar de opgave komt?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Reageer