Springen naar inhoud

Dense sets


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Fruitschaal

    Fruitschaal


  • >250 berichten
  • 524 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 19 juni 2011 - 15:16

Hallo allemaal,

Ik kan er maar niet uitkomen hoe je bepaalt of een verzameling dense is. Zo is ťťn van de vragen die ik moet beantwoorden (het zijn er drie, maar ik noem alleen de eerste). De vragen zijn oorspronkelijk in het Engels, maar ik heb het voor de zekerheid vertaald. Een vertaling voor 'dense' lijkt me niet nodig.
'Welke van de volgende verzamelingen zijn dense op [0,1]?'
a) S1 is de verzameling van alle reŽle getallen op [0,1] van de vorm LaTeX , waar p en n arbitrary positieve, gehele getallen zijn.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 19 juni 2011 - 15:28

Dit forum is geen antwoordenmachine, maar begeleidt met alle plezier. Vraag dus niet om volledige uitwerkingen, maar beschrijf de punten waar je tegenaan loopt.

Wat is je definitie voor het 'dicht' (de nederlandse term voor 'dense') zijn van een verzameling? Vaak kom je daarmee al een heel eind.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#3

Fruitschaal

    Fruitschaal


  • >250 berichten
  • 524 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 19 juni 2011 - 15:36

Dit forum is geen antwoordenmachine, maar begeleidt met alle plezier. Vraag dus niet om volledige uitwerkingen, maar beschrijf de punten waar je tegenaan loopt.

Dat begrijp ik hoor ;)

'Een verzameling A c [a, b] is dense in het gesloten interval [a, b], voorzien dat arbitrarily dicht bij elk punt z in [a, b], er een punt z in [a, b] is, zodat er een punt in A is. Met andere woorden, voor elke z in [a, b] en elke epsilon > 0, de doorsnede:
(z - epsilon, z + epsilon) n A =/= lege verzameling.

Kortom: (z - epsilon, z + epsilon) bevat een punt van A.'

De definitie snap ik, maar ik weet niet hoe ik hem moet toepassen.

#4

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 19 juni 2011 - 15:47

Okee, dus in dit concreet geval. Neem een willekeurige z in [0, 1]. Laten we ook maar meteen veronderstellen dat z zelf niet tot S1 behoort ;). Anders is het triviaal. Dus dan moet je nu bewijzen (of je afvragen of dit zo is) dat (z-e, z+e) n S1 niet leeg is... Enig idee hoe je hieraan moet beginnen? Of wat je kunt gebruiken?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#5

Fruitschaal

    Fruitschaal


  • >250 berichten
  • 524 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 19 juni 2011 - 17:42

Okee, dus in dit concreet geval. Neem een willekeurige z in [0, 1]. Laten we ook maar meteen veronderstellen dat z zelf niet tot S1 behoort ;). Anders is het triviaal. Dus dan moet je nu bewijzen (of je afvragen of dit zo is) dat (z-e, z+e) n S1 niet leeg is... Enig idee hoe je hieraan moet beginnen? Of wat je kunt gebruiken?

Er is een voorbeeld dat er enigszins op lijkt. Daar heb ik al tien keer naar gekeken en gelezen, maar ik snap de werkwijze niet. Ik zal het even kort neerzetten:
'Beschouw de verzameling:
LaTeX

Vervolgens wordt er gezegd:
'Deze verzameling is binnen een afstand van LaTeX van elk punt in [0, 1], maar deze afstand is niet arbitrarily (willekeurig?) klein. Kortom, de verzameling S doorsnijdt niet het hele open interval (0, LaTeX ). Dus, de verzameling is niet dense in [0,1]'.

Erg leuk dit, maar hoe komen ze erbij dat het binnen een afstand van 2^-101 ligt? En hoe is het open interval (0, 2^-100) bepaald?

Veranderd door Fruitschaal, 19 juni 2011 - 17:43


#6

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 19 juni 2011 - 21:04

Erg leuk dit, maar hoe komen ze erbij dat het binnen een afstand van 2^-101 ligt? En hoe is het open interval (0, 2^-100) bepaald?

Laten we voor de gemakkelijkheid veronderstellen dat we enkel het positieve stuk van S bekijken (dus p >= 0). Dan is het eerste punt uiteraard gewoon 0. Wat is nu het tweede punt, zo dicht mogelijk bij 0, uit S? Dat bereik je door p = 1 te nemen. Immers, elke p>1 ligt gewoon nog verder van 0. Dus de afstand tussen het eerste en tweede punt is...? Dit procťdť kun je nu voor ťlke twee opeenvolgende punten doen. Dus ze liggen idd steeds op een zeker afstand van elkaar... Als je dus een interval kleiner dan deze afstand neemt (op de juiste plaats, dus tussen 2 opeenvolgende punten), dan is de doorsnede idd leeg. En dus is S niet dicht.

Voor we verdergaan met jouw ander vb, zullen we eerst proberen dit te snappen...
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures