Differentieerbaarheid functie in r²

stinne 3

Heb ik de volgende vraag juist (en vooral de juiste denkwijze)?

: Naamloos.jpg (8.21 KiB) 315 keer bekeken

Als de functie niet continu is, is ze niet differentieerbaar. Ik probeer dus te bewijzen dan de functie niet continu is in (0,0) door na te gaan of de limiet in (0,0) gelijk is aan 0. Als de limiet in (0,0) gelijk is aan 0 moeten de functiewaarden naderen tot 0 langs elk gekozen pad dat tot de functie behoort. Ik kies het pad y=x en bekom als limiet 1, de functie is dus niet differentieerbaar.

Drieske

Als de functie niet continu is, is ze niet differentieerbaar.

Klopt, maar

Ik probeer dus te bewijzen dan de functie niet continu is in (0,0) door na te gaan of de limiet in (0,0) gelijk is aan 0.

waarom moet het 0 zijn? De limiet mag vooral niet eenduidig gedefinieerd zijn (of dus: niet bestaan), en dan is het niet continu in dat punt. Immers zou het ook zo kunnen zijn dat de functiewaarde net 1 moet zijn... Of niet?

stinne 3

ik dacht dat het 0 moet zijn aangezien de functiewaarde er 0 is, aangezien een functie pas continu is als de functiewaarde gelijk is aan de limiet dus

Drieske

En waarom is de functiewaarde 0? (Als dat zo is, is wat je doet uiteraard voldoende, maar ik mis dat van de functiewaarde even.)

stinne 3

aangevuld met de waarde 0 in (0,0)

staat in de opgave:p

Drieske

Sorry! My bad... Dan lijkt het mij correct ja!

TD

Die redenering zou inderdaad juist zijn, maar hoe kom jij aan limiet 1 op het pad x = y?

\({\left. {\mathop {\lim }\limits_{\left( {x,y} \right) \to \left( {0,0} \right)} \frac{{x{y^7}}}{{{{\left( {{x^2} + {y^4}} \right)}^2}}}} \right|_{y = x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^8}}}{{{{\left( {{x^2} + {x^4}} \right)}^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^4}}}{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^2}}} = 0\)

stinne 3

ik deed hetzelfde als jij behalve bij de laatste stap:

limiet van een breuk van veeltermen is de limiet van de hoogstegraadstermen, in dit geval dus de limiet van (x^4)/(x^4)=1. Hoe kom jij aan 0?

TD

limiet van een breuk van veeltermen is de limiet van de hoogstegraadstermen, in dit geval dus de limiet van (x^4)/(x^4)=1.

Dat is voor limieten op oneindig...

Hoe kom jij aan 0?

Vul x = 0 maar eens in

.

stinne 3

ja ik zie het nu, maar ik vind niet direct een pad dat niet 0 oplevert..

Drieske

Wat is je definitie voor differentieerbaar? (Sorry btw voor de onoplettendheid)

stinne 3

f(x) - f(a) = A(x-a) + λ(x)

\(\|\)

(x-a)

\(\|\)

\(\forall\)

x

\(\neq\)

a

Als er een matrix A bestaat waarvoor λ(x) de nulvector als limiet naar a heeft. Ik kan me hier eigenlijk niks bij voorstellen wat het zou moeten betekenen.

Drieske

Ken je geen karakterisatie met behulp van partiële afgeleiden? De definitie is in het algemeen inderdaad niet zo handig om mee te werken in de praktijk (vind ik toch).

stinne 3

je zou kunnen proberen om te bewijzen dat de partiële afgeleiden niet continu zijn, hier volgt ook uit dat de functie niet differentieerbaar is.

Drieske

je zou kunnen proberen om te bewijzen dat de partiële afgeleiden niet continu zijn, hier volgt ook uit dat de functie niet differentieerbaar is.

Helaas zie ik geen simpeldere manier... Heb je dit al eens geprobeerd?

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Differentieerbaarheid functie in r²

Differentieerbaarheid functie in r

Re: Differentieerbaarheid functie in r

Re: Differentieerbaarheid functie in r

Re: Differentieerbaarheid functie in r

Re: Differentieerbaarheid functie in r

Re: Differentieerbaarheid functie in r

Re: Differentieerbaarheid functie in r

Re: Differentieerbaarheid functie in r

Re: Differentieerbaarheid functie in r

Re: Differentieerbaarheid functie in r

Re: Differentieerbaarheid functie in r

Re: Differentieerbaarheid functie in r

Re: Differentieerbaarheid functie in r

Re: Differentieerbaarheid functie in r

Re: Differentieerbaarheid functie in r