Integraal in cilindrische coordinaten
Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood
-
- Berichten: 45
Integraal in cilindrische coordinaten
Opgave:
Bepaal het volume van het lichaam ingesloten tussen z= x^2 en z=4-x^2-y^2.
ik vindt volgende grenzen:
0<=theta<=2*Pi
x^2 <= z <= 4-x^2-y^2
-> r^2*cos(theta)^2 <= z <= 4- r^2
0 <= r <= 2*x^2+y^2-4 (doorsnijding beide oppervlakken = ellips)
maar al ik nu de transformatieformules hierin substitueer bekom ik:
0 <= r <= r^2 + r^2*cos(theta)^2-4
Hieruit met de hand r afzonderen lukt me niet, en als ik via maple probeer bekom ik 2 vrij grote uitdrukkingen namelijk:
1/2*1/(1+cos(theta)^2)*(1+(17+16*cos(theta)^2)^(1/2)) en -1/2*(-1+(17+16*cos(theta)^2)^(1/2))/(1+cos(theta)^2)
Als ik dan de integraal uitreken bekom ik een negatief volume...
Met cartesiaanse coordinaten bekom ik wel de juiste oplosing namelijk 4*sqrt(2)*Pi
Bepaal het volume van het lichaam ingesloten tussen z= x^2 en z=4-x^2-y^2.
ik vindt volgende grenzen:
0<=theta<=2*Pi
x^2 <= z <= 4-x^2-y^2
-> r^2*cos(theta)^2 <= z <= 4- r^2
0 <= r <= 2*x^2+y^2-4 (doorsnijding beide oppervlakken = ellips)
maar al ik nu de transformatieformules hierin substitueer bekom ik:
0 <= r <= r^2 + r^2*cos(theta)^2-4
Hieruit met de hand r afzonderen lukt me niet, en als ik via maple probeer bekom ik 2 vrij grote uitdrukkingen namelijk:
1/2*1/(1+cos(theta)^2)*(1+(17+16*cos(theta)^2)^(1/2)) en -1/2*(-1+(17+16*cos(theta)^2)^(1/2))/(1+cos(theta)^2)
Als ik dan de integraal uitreken bekom ik een negatief volume...
Met cartesiaanse coordinaten bekom ik wel de juiste oplosing namelijk 4*sqrt(2)*Pi
- Berichten: 24.578
Re: Integraal in cilindrische coordinaten
Op de ellips geldt:
4-x²-y² = x²
4-r² = r²cos²t
r²(1+cos²t) = 4
r² = 4/...
r = ...
Hier kan je toch makkelijk r uithalen? Neem de positieve r en laat r lopen van 0 tot die bovengrens.
4-x²-y² = x²
4-r² = r²cos²t
r²(1+cos²t) = 4
r² = 4/...
r = ...
Hier kan je toch makkelijk r uithalen? Neem de positieve r en laat r lopen van 0 tot die bovengrens.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
- Berichten: 24.578
Re: Integraal in cilindrische coordinaten
Graag gedaan. Het stond er bij jou ook al bijna hoor:
Die r² buiten haakjes en je bent vertrokken.0 <= r <= r^2 + r^2*cos(theta)^2-4
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 45
Re: Integraal in cilindrische coordinaten
En weet u soms ook hoe het in sferische moet? (symbolen als http://nl.wikipedia.org/wiki/Sferische_co%C3%B6rdinaten)
ik vindt dat:
0 <= theta <= 2*Pi
uit x^2 = 4-x^2-y^2
haal ik dat -4/(sin(phi)*sqrt(1-cos(theta)^2)) <= rho <= 4/(sin(phi)*sqrt(1-cos(theta)^2))
maar hoe vindt ik nu de grenzen voor phi?
ik vindt dat:
0 <= theta <= 2*Pi
uit x^2 = 4-x^2-y^2
haal ik dat -4/(sin(phi)*sqrt(1-cos(theta)^2)) <= rho <= 4/(sin(phi)*sqrt(1-cos(theta)^2))
maar hoe vindt ik nu de grenzen voor phi?
-
- Berichten: 76
Re: Integraal in cilindrische coordinaten
Hoe veranderd phi in functie van theta? Als je dat vind ben je er ... ( je stelt je best eens voor hoe je volume eruit ziet, als de z as de omwentelings as van het lichaam is, loopt phi van 0 tot
\(\phi (\theta)\)
)-
- Berichten: 76
Re: Integraal in cilindrische coordinaten
laat me even illustreren:
Stel je een kegel voor met de top in de oorsprong. De z-as loopt dus door het midden van die kegel.
Om de kegel te doorlopen moet je eerst r laten variëren van 0 ( vanop de z -as ) tot
Vervolgens laat je phi variëren. Bij de kegel zie je dat phi moet veranderen van 0 tot een constante, want je ziet dat phi constant blijft als theta veranderd.
Stel je een kegel voor met de top in de oorsprong. De z-as loopt dus door het midden van die kegel.
Om de kegel te doorlopen moet je eerst r laten variëren van 0 ( vanop de z -as ) tot
\(r(\theta, \phi)\)
. In het geval van een kegel zie je direct dat r enkel zal afhangen van phi en niet van theta. Dus je integreert r van tot de functie ( van phi ) die je kegel begrensd.Vervolgens laat je phi variëren. Bij de kegel zie je dat phi moet veranderen van 0 tot een constante, want je ziet dat phi constant blijft als theta veranderd.
- Berichten: 10.179
Re: Integraal in cilindrische coordinaten
Laten we hier nu maar even mee ophouden tot de topicstarter wat van zich laat horen.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.