Springen naar inhoud

Een open verzameling of niet?


  • Log in om te kunnen reageren

#1

stinne 3

    stinne 3


  • >250 berichten
  • 291 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 20 juni 2011 - 16:35

De volgende oefening leek mij duidelijk waar, maar ze bleek dus vals te zijn.

Naamloos.jpg

Mijn redenering: gwn de definitie van een open verzameling, alle punten van S zijn inwendig (hebben een omgeving die volledig tot S behoort). Ik beschouw het als een vlak met hier en daar een klein gaatje in maar tussen elke 2 gaatjes nog een stuk vlak.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24051 berichten
  • VIP

Geplaatst op 20 juni 2011 - 17:26

Beschouw voor de eenvoud :P en haal {1/n | n in ;)} weg; kijk dan eens naar een omgeving van 0.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

stinne 3

    stinne 3


  • >250 berichten
  • 291 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 20 juni 2011 - 18:20

volgens mij is er nog altijd een omgeving van 0 die volledige tot S behoort..

Als je naar de reŽle as kijkt komt het eigenlijk op het volgende neer:

we zoeken een punt van de verzameling waarvan het punt links of rechts ervan niet tot de verzameling behoort, maar aangezien in dit voorbeeld tussen 1/n en 1/(n+1) oneindig veel punten liggen is dit dus voor geen enkele n van N het geval.

of zo redeneer ik toch, wat is hier fout aan?

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24051 berichten
  • VIP

Geplaatst op 20 juni 2011 - 18:27

Ik begrijp je redenering niet zo goed.

Op elk interval [0,e], voor elke reŽle e>0, zit er wel een punt 1/n in (0,e) door n voldoende groot te nemen. Begrijp je dat?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 20 juni 2011 - 18:31

De definitie van open, is: een verzameling A is open indien er voor elke punt x in A een e (epsilon) bestaat zodat (x-e, x+e) volledig tot A behoort.

De vraag die je je eigenlijk moet stellen, is de volgende: is er rond 0 (het punt x) een e (epsilon) bestaat zodat (-e, e) geen punt van de vorm 1/n bevat. Of dus equivalent hiermee: bestaat er e zodat e < 1/n voor alle n?

EDIT: TD was me dus voor ;).
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#6

stinne 3

    stinne 3


  • >250 berichten
  • 291 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 20 juni 2011 - 18:35

aha ok, ik heb het beet denk ik. Dan is de veronderstelling dat een aftelbaar oneindig aantal punten een gesloten verzameling is ook fout he? Anders zou het complement open moeten zijn en dit is dus niet zo, juist?

geen probleem, hoe meer uitleg hoe beter;)

Veranderd door stinne 3, 20 juni 2011 - 18:36


#7

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 20 juni 2011 - 18:42

Beeld je eens volgende verzameling in: LaTeX ... Wat is het 'eindresultaat' hiervan?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#8

stinne 3

    stinne 3


  • >250 berichten
  • 291 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 20 juni 2011 - 18:49

volgens mij [0,1[

#9

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 20 juni 2011 - 18:51

Jeps. Alleen was ik te rap ;). Het ging je over punten (singletons) in het specifiek? Of over gesloten verzamelingen in het algemeen?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#10

stinne 3

    stinne 3


  • >250 berichten
  • 291 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 20 juni 2011 - 18:59

Wat ik bedoelde is dat hieruit volgt dat een aftelbaar oneindig aantal punten geen gesloten verzameling is omdat anders de verzameling van de originele vraag open zou zijn.

Jij dacht waarschijnlijk dat ik een aftelbaar oneindig aantal gesloten verzamelingen bedoelde? In dit geval is door bovenstaand voorbeeld gebleken dat we dan een niet-open verzameling bekomen, juist? Of in ieder geval niet altijd een gesloten verzameling.

#11

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 20 juni 2011 - 19:04

Mijn voorbeeld was idd bedoeld om te tonen dat een aftelbaar oneindige unie van geslotens niet per se gesloten moet zijn (overigens: ze kan wťl open zijn hŤ, mijn vb hierboven is gewoon een, specifiek, vb)... Maar het andere klopt idd ook, door het hierboven uitgewerkte voorbeeld. Evenals om de reden die je zelf aanhaalt: was het gesloten, moest het complement open zijn. En dat is hier niet het geval...
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures